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1、渺 磷馨蓦蘸巍 .王 庚 荷兰著名 画家埃 舍 尔(M. C . Es che r )无疑是将科学 与艺术完美 结合的典范 。 他的作品趣味无穷 , 令人赏 心悦目 , 是数学艺术的奇 葩 。 人们从中惊叹他的丰富 想象力 , 往往忽 略了其数学内涵 , 而这恰恰是他创 作的 动机 。 埃舍 尔 189 8 年出生在 荷兰洛 瓦当的一个水 利 工 程师 家庭 。 在中学 里 , 埃舍尔并不是一个好学生 , 两次 留级 , 只有绘画的成绩还好一点 。 1 9 1 9年 , 他进人 哈勒 姆的建筑与美 术学校 学习建筑 , 后 又改学绘画 。 埃舍 尔受到严格训练 , 很快掌握了木刻技术 。 开
2、始时的职 业是风景画家 , 19 37 年以前 , 他描绘意 大利南方和地 中海沿岸的城市 和乡村风 光 , 也有少 量的肖像画和动 植物画 。 如果他在这方面继续努力下去 , 很可能在同 时代的版画家中寻得 一席体面的地位 。 可是不久埃舍 尔的作品开始心理化 , 不再只从外部视觉中吸取美感 , 而热衷于对规律性 、 数学结构 、 连续性 、 无限性以及画 面潜在冲突的追 求 。 他在一条前人没有走 过的路 上辛 勤地探索着 , 于是当时的评论界对他失 去热 情 , 他的 画 也卖 不出去 , 知音 寥寥无几 。 然 而埃舍 尔非 常沉着 , 无 视周围的压力而继续他的追求 。 到了 19
3、50 年代 , 许多 数学 家 、 晶体学家 、 物理学家对他的作品产生了浓厚兴 趣 , 他们从中看到了某 些 定律 的再现 。 于是 , 他的作品被高价 抢购 , 刊登在 各 种科技类书籍 杂志 上 , 受到热烈的赞扬 。 美术 评论 界也先据 后恭起来 。 19 70 年 , 他住 在 勒昂 的一 个艺术家协会里 。 在那里 , 年老 的艺 术 家都有自己的画室 , 免 费享 受 一切 。 1972 年 3 月 20 日 , 埃舍 尔在那 里与世长 辞 , 终 年 7 4岁 。 默比乌斯带 从埃舍 尔的构 思和创 作中可以看出他是 一个思维 的人 , 其作品的几何学特性体现了很 多数学概
4、念 : 无 穷 大 、相对 性 、反 射与反演 , 以及一个三维物与其在二维 表面上的绘图之间的关系等 。最 重要 的是对称概念 , 是 他 作品 的核 心 。 四种对称和相似 性 , 连同对无穷大的无 休止 强烈爱好 , 成为他作品 的实 质 。 默比乌斯带是埃舍 尔非 常著名的木刻作品 。 1 9 世纪德国数 学 家默比乌斯(A . F .M6b i us )第 一 次应 用这 种带 子是为了表明拓扑学 上的一 些观点 。 制作 最简单 的默比乌斯带 , 只需用一根很长的长方形纸条把一头 扭转 180 0 与另一 头粘起来即可 。 于是 , 这条 带子只有 一条边和一个 面 。就是说, 若
5、想在 这条带 子的 “ 外面 ”徐 颜 色 , 结果却把整条带子的 “ 内外 ” 都涂上了颜色 。 用数 学语言说 , 这便是单侧曲面的单侧性 。 在默比乌斯带 11中 , 九只大蚂 蚁爬在 这 条带 子 上 , 如果沿着蚂 蚁的路线找下 去 , 只能找到 一个面 。 如 果沿带子的纵向中央将其一剪 为二 , 许多人认为这 将 分离为 两条 带子 , 然 而不 , 带子 没有分离 , 仍 然只有 一 条 , 只是长了许多而已 。 但是 , 如果沿着距纸带一 条边 三分之一宽度远的直线纵向 剪开一个默比乌斯带 , 便得 到两个缠绕在 一起的环 : 一 个是 真 正的默比乌斯带 , 另 一个是有
6、两个半纽结的二面 环!难怪默比乌斯带已成为 能够想到的最诱人的数学 创 造物之一 , 一 种秘密 完全隐 藏在其缠绕表面之后的几何 霓术成果 。 埃舍尔 是在与一位英国 科学(双月刊) 斜纂颧馨囊曝 数学 家的一次偶然 相 见之后 , 才开 始 注 意默 比乌斯带的 , 可惜他后 来 忘记这位 数学家是 谁了 。 这次偶 然会面显 然很富成果 , 激励了埃 舍尔的创作热情 。 埃舍 尔 爱好形状怪诞的图 案 , 他的作品中充满了 生命 : 在默比乌斯带 骑士 图 n中是 大蚂 蚁 ; 而默 比乌斯带I中 , 一对抽象动 物(可能 是蛇)沿 着看 似分 开的默比乌斯带的两个部分互相追逐 ; 还有
7、一个由正 好互 为 镜像的两 组 (黄色和灰色)骑马人组 成的队列 , 两组骑马人沿着一条扭曲 的环 形带的两个面朝 相反方 向行 进(骑 士图) , 这也是一条 真正的默比乌斯带 , 但 它有两个面和 两条边 ;事 实上 , 当沿着中心线纵向剪 开 单面 默比乌斯带时 , 得到的东 西就 是它 。 将矩形带扭 转 3 60 0 之后把其两端连 接起来 , 也可以得到它 。 为了 增加复杂性 , 骑士图中 的带子在图画的中心连接起 来 , 从而 接通了两个分开的面 , 使这 两 组马能够相 遇 。 埃舍尔是一个天才 , 他擅长 刻画生活中模棱两 可或出 乎意料的事情 , 数学的默比乌斯带为他的
8、艺术 创 作才 能找到了一片肥 沃的土地 。 骑马的人( 平面的规则划分1 1 1) 无止境的循环 埃舍尔与无穷 大有关的作品分成三类 : 无止境循 环 ; 平 面的规则分割 ; 极限 。 在 “ 无止境循环 ” 中 , 埃舍尔通过在二维 画布 上画出永恒 运 动 这个使现 实世界中一 代 代发明家和 空想家 感到困惑的东西 , 表现 了他对节奏 、 规律性和 周期性的强 烈爱好 。 这 些图画 总是 使用某种 精妙的螺旋图案 或 者 隐藏的 “秘 诀 ” , 体现着 某 些奇 异 风格 , 好像埃 舍尔喜欢取笑自然规 律一 样 。 用他自己的话 说 :“ 我禁不 住 嘲 笑 我 上升和 下降
9、 们所有不动摇的必然性 , 比如说 , 故 意地混淆 二维和三 维 、 平 面和空间 , 或者取笑万 有引力 , 是一 种 极为有 趣 的事 。 ” 我们已经看到 他如何使用 默比乌斯带的拓 扑 特性 , 描绘 一队骑马人或者一群在无止境的循环中互 相追逐的大蚂 蚁 。 在版画作品 瀑布(永恒运 动)中 , 他 巧妙地改 变了建筑物轮廓的形状 , 结果 呈现出一种 荒 诞的情 景 : 一股水流 沿着 一条封闭 的环行道无 止境地 流着 。 水从左上方倾倒 下来 , 推动了轮子 , 然 后水在 水 渠里 继续 流动 。 是往上 流 , 又好像是平着 流 。 终于水 又 回到了原 地 , 再次从上
10、 面倾倒 下来 推动轮子 。 就这样 , 埃舍 尔在二维世界里实 现了一种以自身能量 为能 源的 机器的 “永 恒运动 ”。 在版画作品上 升和 下 降中 , 埃 舍尔精心 使用了透视画法规律 , 画出一 队爬上楼梯的 士兵 ; 他们一直往上爬 , 结果却发现回到了出发点!有 人还 为士兵们 制作了台词 , 士兵 们说 :“ 是的 , 是的 , 我 们往 上爬呀爬呀 , 我们想象我们在 上升 ; 每一级约 十英 瀑布(永恒运动 ) 2 0 04年5月(56卷3期) 渺 磷纂娜氰巍 寸高 , 十分 使人厌倦它到底 会把我 们带到哪 里 ? 哪里也没有去 ;我们一 步也没走 远 , 一步也没升 高
11、 。 ” 平面的规则分割 “ 平面 (在有些情况 下是空间)的规则划 分 ” , 已经 成为埃舍尔的标志 。 无休止地重 复单一的基本图案 , 不 重叠也不留任何空白的可能性 , 向他提出了一个无 法 抗拒的挑战 :“ 它仍然是一个极有吸引力的活 动 , 一 种我已经上瘾的真正癖好 , 而且 我有 时发现很难使自 己离 开它 。 ”但是 , 与他受到极大启发的伊斯兰图案不 同 的是 , 埃舍尔的基本图案很少是抽象的 , 相反 , 它 们 是可以辨认的事物人 、鸟、 鱼和取自日常生 活的无 生命物体 。 埃舍尔在下 面的话中表达了他对纯粹抽象 的厌恶 :“摩 尔人是使用全等图形填充一个平面的大师
12、 伊斯兰教禁止画 图像 。在 他们 的棋盘 镶 一嵌 术中 , 他们只把自己局限于有抽象几何形状的 图形我发 现这种 限制格外令人难以接受 。 正是我自己的模式成 分的可辨认性 , 才是我对这个领域的兴趣从未停止的 原因 。 ” 埃舍尔以具体的 、 可 辨认的物体描绘数学概念的 能力 , 可 能是他最大的天赋 。 例如 , 可以 比较一下 拍 加索斯 和 骑马 的人 , 前者是公元前 6 世纪的希腊图 案(拍加 索斯是希腊神话中生有双翼的飞马 );后者出 自埃舍尔之 手 。 这两幅图正好属 于相同的对称群 , 两 幅图都允许两次平移 : 一次沿着每 一行 , 另一次横跨两 行 。 希腊图案尽管
13、从美学角度讲令人喜爱 , 但不 是特 别有趣 ; 而埃舍尔的 图案因为有 一系 列填充整个图形 的 “拍加索斯” , 而显得生动 活泼 。 更仔细地观察 , 可以 发现 每一匹黑色的 “拍加 索斯”周 围有四匹相同的反向 白色 “ 拍加 索斯 ” , 反之亦然!事实 上 , 这幅画可以用两 种同样有效的方法解释 : 在白色背 景下飞行的黑色 “拍 加索斯 ”或者 是在黑 色背景 下飞行的白色 “拍加 索斯” 。 这说明了埃舍尔喜爱的另一个主题对偶性 。 骑 马的人通过精心使用 对称原理而得到对偶效果 : 两匹 上下 相邻的 “拍 加 索斯 ”( 不管是黑色的还是白色的)之 间 的 “空 白 ,
14、 空间正是同一匹 “ 拍加索斯 ” 的复制品 只是颜色 相反 。 圆的极限1 1 1圆的 极限I V 极 限 , 极 限 ” , 表达埃舍尔对完整无缺的无穷 大符号的 渴望 : 他试图找到一种方法即从中心向外 部的不 断缩 小过程来体现无穷 。 所幸的是他从加拿 大几何学家考 克塞特(H . M.C ox et er )的著作儿何学 导论的插图中找 到了这种方法 。 从理论上说考 克塞特的擂图与庞加莱 的非欧几何学模型有关 , 埃舍尔却 立刻认识到了它的 美学价值 。 通过考克 塞特的插图 , 埃舍尔演绎出了 四 种最成功的作品 。 埃舍尔本人对作品圆的极限班是 这样评述的 :“在 彩色 木版
15、 画圆的极 限1 1 1中 , 圆的极 限 I中的缺点大 部分被克服 。 我们 现在只有 直通系 列 , 而且 属于一个系列的所有 鱼都有 相同的颜色 , 并且 沿着一条从一 边到另一边的 圆形路线首尾 相连游动 。 离中心越 近 , 它们变得越大 。 为了使每 一行都与其周 围形成 完全的对比 , 需要四种颜 色 。 当所有这些 成串 的鱼像来自无穷 远距离的火 箭 , 以角从边 界射出并 且 再次落回到它射出的地 方 时 , 没 有任何单个的成员到 达边 缘 。 因为边界是 绝对 的虚无 。 然而 , 如果没有其 周围的空 虚 , 这个圆形的世界也不会存在 。 这不仅仅 是因为 内部 的先
16、决条件是 外 部, 而且还因为正 是 在 这个 虚 无 的外 部 , 建立起这个框架的弧的中心点 以几何的精确性 被确定 在那里 。” 其他任 何人能如此简洁地表达庞 加莱模型的实 质 吗?埃舍尔 给考克塞特寄去 一份 圆的极限l , 然 而 考克 塞特的 答复令他困 惑不解 :“ 我 收到一封来 自考 克 塞 特 的关于我送 给他的彩 色 鱼画的满 腔 热情的信 。 他 花了三页解 释 我 实际 做 了些 什 么 十分可 惜的是我 什 么也不懂 , 绝 对 丝 毫 不理 另一个世界 科学(双月刊) 爵拳颧臀囊暮 解这些 解释 ” 考克 塞特曾经请埃舍 尔听他的一个 关于非 欧几何学的讲演 , 并且 相信他能够跟上这个话 题 。 然 而 , 考克塞特的努力仍未达到目的 , 从埃舍尔的 话中可以推测出这一 点 。 双色木 刻作品圆的极 限W是埃舍尔 心目中的 LZ(罗巴切 夫斯基平 面) , 这 是 根据考克 塞 特的建 ,议 画 的图 , 图中
