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1、1 深圳市高级中学深圳市高级中学 2019 届高三届高三 12 月模拟考试月模拟考试 数学（理科）数学（理科） 一选择题：本大题共一选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1已知集合 2 30Ax xx，ln2Bx yx，则AB （ ） A2,B2,3C3,D,2 2.设，是两个不同的平面，m是直线且m， “/m”是“/ ”的（ ）. A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3若 m 是 2 和
2、 8 的等比中项，则圆锥曲线 x2+的离心率为（ ） A B C 或 D 或 4九章算术中有“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容 积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则该竹子的容积为（ ） A 100 11 升B 90 11 升C 254 33 升D 201 22 升 5.已知向量a ，b 满足| 2a ，| 4b ，()aab ，则向量a 在b 方向上的投影为（ ） A1B2C2D1 6.已知直线430xya与 22 :40C xyx相交于A、B两点，且120ACB，则实数 a的值为（ ） A3 B10 C. 11或21 D3或13
3、7已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（ ） A 2 x x y B22 x y Ce x yxD |2| 2 x yx 8若双曲线C： 22 22 10,0 xy ab ab 的一条渐近线被抛物线 2 4yx所截得的弦长为 3 2 ， 2 则双曲线C的离心率为（ ） A 1 4 B1C2D4 9.函数 sinf xAx（其中0, 2 A ）的图像如图所示，为了得到 cos 2 2 g xx 的图像，只需将( )f x的图像( ) A.向左平移 3 个长度单位 B.向右平移 3 个长度单位 C.向左平移 6 个长度单位 D.向右平移 6 个长度单位 10.如图，网格纸上小正方形的边
4、长为 1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为( ) A.88 24 6 B.88 22 6 C.22 26 D. 126 224 11.记数列 n a的前n项和为 n S.已知 1 1a ， 1 ()2 () n nnn SSanN ，则 2018 S（ ） A 1009 3(21) B 1009 3 (21) 2 C. 2018 3(21) D 2018 3 (21) 2 12. 若函数 2 ( )ln ln x f xaxx xx 有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是( ) A. 1 (1,) 1 e ee B. 1 1, 1 e ee C. 1 (, 1) 1 e
5、 ee D. 1 , 1 1 e ee 二二填空题：本大题填空题：本大题 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分 13已知向量a与b的夹角为60，2a，3b，则32ab_ 14若tan3， 0 2 ，则 cos 4 _ 15某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长 为3的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为36，则该几何体的体积为_ 7 x 3 16.ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c.D是BC边的中点，且 10 2 AD ， 8 sin3 15aBc， 1 cos 4 A ，则ABC面积为 三解答题：本大题共三解答题：
6、本大题共 8 小题，满分小题，满分 70 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知数列 n a的前n项和为 n S，且n， n a， n S成等差数列， 2 2log11 nn ba （l）求数列 n a的通项公式； （2）若数列 n b中去掉数列 n a的项后余下的项按原顺序组成数列 n c，求 12100 ccc的 值 18. 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且sin()sinsinbBcbCaA. （1）求角A的大小； （2）若 3 sinsin 8 BC ，且ABC的面积为2 3，求a. 19如图，四棱锥PABCD中
7、，PAD为正三角形，/AB CD，2ABCD，90BAD， PACD，E为棱PB的中点 （1）求证：平面PAB 平面CDE； （2）若直线PC与平面PAD所成角为45，求二 面角ADEC的余弦值 20已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，点P在椭圆上，有 4 12 4PPFF，椭圆的离心率为 1 2 e ； （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知4,0N，过点N作直线l与椭圆交于,A B不同两点，线段AB的中垂线为 l ，线段 AB的中点为Q点，记 l 与y轴的交点为M，求MQ的取值范围 21.已知函数 2 1 ( )ln(1) 2 f xxm
8、x，其中mR （1）求函数( )f x的单调区间； （2）若函数( )f x存在两个极值点 1 x， 2 x，且 12 xx，证明： 1 2 ()11 ln20 42 f x x 22在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是 2cos 3sin x y （为参数） ，以射线Ox为 极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cossin30 （1）将曲线C的参数方程化成普通方程，将直线l的极坐标方程化成直角坐标方程； （2）求直线l与曲线C相交所得的弦AB的长 5 数学（理科）参考答案数学（理科）参考答案 1B 2.B 3.D 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D 10.A 11.A
9、12,A 8 【解析】双曲线C： 22 22 10,0 xy ab ab 的一条渐近线方程不妨设为：0bxay，与抛 物线方程联立， 2 0 4 bxay yx ，消去y，得 2 40axbx，所以 12 12 4 0 b xx a x x ，所以所截得的弦 长为 22 22 3 1 162 bb aa ，化简可得 2 3 42 bc a ， 2 2 3bca， 2224 12caca， 42 120ee，得 2 4e 或3-（舍） ，所以双曲线C的离心率 2e 9.【解析】由图像知 1A ， 7 4123 T T ， 2 2 ， 7 ()1 12 f 73 22 122 k ， 2 ，得 3
10、 ，所以 ( )sin(2) 3 f xx ，为了得到 cos 2sin(2 ) 2 g xxx 的图像，所以只需将 ( )f x 的图象向右平移6 个长度单位即可，故 选 D 10.该几何体为如图中的三棱锥 CA1C1E，ECEA12 5，A1C16161643， 三角形 EA1C 的底边 A1C 上的高为：22， 表面积为：S 1 2 24 1 2 24 1 2 424 1 2 224388 24 6 11 7 x 6 12. ln ,(0,) ln xx ax xxx 有 3 个不同解，令 ln ( ), ln xx g x xxx 2222 1 ln1 lnln (1 ln )(2ln
11、 ) (0,),( ), (ln )(ln ) xxxxxx xg x xxxxxx 则 当 (0,)x 时，令 2lnyxx ，则 1211 2,(0, ),0, 2 x yxyy xx 当 递减；当 1 ( ,),0, 2 xyy 递增，则 min 1 1 ln1ln20,(0,) 2 yx 则当 时，恒有2 ln0.( )0,xxg x令 得 1x 或 ,(0,1),( )0, ( )xexg xg x且时 递减； (1, ),( )0, ( )xeg xg x时 递增； ( ,)xe 时， ( )0, ( )g xg x 递减，则 ( )g x 的极小值为 (1)1, ( )gg x
12、的极大值为 1 ( ), 1 e g e ee 结合函数图象 可得实数 a 的取值范围是 1 (1,) 1 e ee .答案A 二填空题：本大题二填空题：本大题 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分 13 【解析】2 a，3b，a与b的夹角为60， 1 cos60233 2 a bab， 又 2 22 329124361233636 abaa bb，326ab，故答案为6 14 【解析】由tan3，可得 sin 3 cos 又 22 sincos1，结合 0 2 ，可得 3 10 sin 10 ， 10 cos 10 22 5 coscossin 425 ，故答案为
13、2 5 5 7 15 根据几何体的三视图，得出该几何体如图所示，由该几何体的外接球的体积为36，即 3 4 36 3 R ，3R，则球心O到底面等边ABC得中心 O 的距离 2 2 3 32 2 3 OOR ， 根据球心 O 与高AD围成的等腰三角形，可得三棱锥的高24 2h OO ，故三棱锥的体积 2 13 34 26 34 V 即答案为6 16. 三解答题三解答题 17 【解析】 （1）因为n， n a， n S成等差数列，所以2 nn Sna，2 分 所以 11 122 nn Snan ，得 1 122 nnn aaa ，所以 1 1212 nn aan 4 分 8 又当1n 时， 11 12Sa ，所以 1 1a ，所以 1 12a ， 故数列1 n a 是首项为2，公比为2的等比数列， 所以 1 12 22 nn n a ，即21 n n a 6 分 （2）根据（1）求解知， 2 2log121121 n n bn
