【100所名校】2019届四川省高三开学考试数学（理）试卷（解析版）

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1、1 2019 届四川省成都外国语学校 高三开学考试数学（理）试卷 数数学学 注注意意事事项项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的 非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、单选题一、单选题 1已知集合， ，则| 12 Axx 2 |20 BxxxAB A B |02 xx|0

2、2 xx C D | 10 xx | 10 xx 2已知 是虚数单位，复数在复平面内所对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3已知双曲线的一个焦点为 ,则焦点 到其中一条渐近线的距离为 A 2 B 1 C D 4设函数，则 A 1 B 2 C 3+e D 3e 5秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书九章中提出的多 项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式 值的一个实例，若输入 n，x 的值分别为 3，2，则输出 v 的值为 A 35 B 20 C 18 D 9 6已知直线 3x

3、y+1=0 的倾斜角为 ，则 A B C D 7已知二项式的展开式中 的系数为，则的值为 A B C D 8定义域为 R 的奇函数的图像关于直线对称，且，则 A 2018 B 2020 C 4034 D 2 9已知三棱锥四个顶点均在半径为 R 的球面上，且，若该三棱锥体积的最大值 为 1，则这个球的表面积为 2 A B C D 10已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是 以 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 A B C D 11已知函数，若函数与有相同的值域，则 a 的取值范围是 A B C D 二、填空题二、填空题 12设，则_ A . B. C cab D

4、cba 13计算_. 14已知 x,y 满足，则的最大值为_ 15当函数，取得最小值 x=_. 16已知平面向量 满足，且 与 的夹角为 150，则的取值范围是 _ . 三、解答题三、解答题 17记为等差数列的前 n 项和，已知， （）求的通项公式； （）设，求数列的前 项和 18如图 1，在中，分别为的中点， 为 的中点，将ADE 沿 DE 折起到的位置，使得平面如图 2 （）求证： ; （）求二面角的平面角的余弦值. 图 1 图 2 19生蚝即牡蛎是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖，我国分布 很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产生蚝，生蚝乃软体有壳，衣服寄生的

5、动物，咸淡水交界所产尤 为肥美，因此生蚝称为了一年四季不可或缺的一类美食，某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取 了 40 只统计质量，得到结果如下表所示： 质量（g）5,15)15,25)25,35)35,45)45,55) 数量6101284 （）若购进这批生蚝，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结 果保留整数）； （）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选 4 个，记质量在间的生蚝的个数为 ，求 的分布列及数学期望. 3 20已知抛物线的焦点为 ， 为抛物线 上异于原点的任意一点，过点 的直线 交抛物线 于另一点 ，交 轴的正半轴于点 ，且有.当点

6、 的横坐标为 3 时，为正三角形. （）求抛物线 的方程； （）若直线，且 和抛物线 有且只有一个公共点 ，试问直线（ 为抛物线 上异于原点的任意一 点）是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 21设函数 （）若函数在点处的切线方程为，求实数 与 的值； （）若函数有两个零点，求实数 的取值范围，并证明：. 22选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为 为参数 以原点为极点 x 轴正半轴为极轴建 立极坐标系，直线 的极坐标方程为：，直线 的极坐标方程为 （）写出曲线的极坐标方程，并指出它是何种曲线； （）设 与曲线交于两点， 与曲线交于两点，求四

7、边形面积的取值范围 23选修 4-5：不等式选讲 设函数， 1f xxxa aR （1）当时，求不等式的解集；4a 5f x （2）若对恒成立，求的取值范围 4f x xRa 1 2019 届四川省成都外国语学校 高三开学考试数学（理）试卷 数数学学 答答 案案 参考答案参考答案 1D 【解析】由题得=x|-2x0，所以x|-2x0= 2 |20 Bxxx| 12 ABxx ，故选 D.| 10 xx 2B 【解析】 由题意知 复数 i 对应的点（-2，1）在第二象限， 故答案为：B. 3C 【解析】 【分析】 求出双曲线的焦点和渐近线方程，运用点到直线的距离公式，即可得到答案. 【详解】 ：

8、设双曲线的焦点 即 一条渐近线方程为 即有， 故选：C 【点睛】 本题考查双曲线的方程和性质，考查焦点和渐近线方程的运用，以及点到直线的距离公式，属于基础 题 4 C 【解析】 【分析】 对函数数求导，然后把代入即可. 【详解】 故选 C. 【点睛】 本题考查函数在某一点出的导数，属基础题. 5C 【解析】试题分析：模拟算法：开始：输入成立；3,2,1,3 12,0nxvii ， 成立；1 224v 2 11,0ii ， 成立；4 2 19v 1 10,0ii ， 不成立，输出.故选 C.9 2018v 0 11,0ii 18v 2 考点：1.数学文化；2.程序框图. 6A 【解析】 【分析】

9、 由题意利用直线的倾斜角和斜率求出 tan 的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值 【详解】 直线 3x-y+1=0 的倾斜角为 ，tan=3， ， 故选：A 【点睛】 本题主要考查直线的倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题 7B 【解析】 【分析】 根据二项式展开式的通项公式，令展开式中 x 的指数为 3 求出 r 的值，写出 x3的系数，求得 a 的值，计 算的值 【详解】 二项式展开式的通项公式为： 令 9-2r=3，解得 r=3；所以展开式中 x3的系数为： ， 解得 a=-1； 所以 故选：B 【点睛】 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于

10、基础题 8A 【解析】 【分析】 由题定义域为 R 的奇函数，且其图像关于直线对称，可得 的周期，结合，可求的值. 【详解】 由题定义域为 R 的奇函数，且其图像关于直线对称，则 则 即函数的周期为 8，则 故选 A. 【点睛】 本题考查函数的奇偶性与函数的周期性的应用，注意分析函数的奇偶性 9D 【解析】分析：因为三棱锥的体积有最大值且为确定的三角形，故球心在三棱锥的内部且球心到平 面的距离是定值.要使得体积最大，只要 到平面的距离最大即可，此时 与球心的连线垂直平面且 经过外心，根据这个性质可以得到外接球的半径. 详解：为等腰直角三角形，三棱锥体积最大时，球心在过的中点且垂直于平面的直线上

11、， 为 该直线与球面的交点，此时高， 3 故体积，解得， 故.选 D. 点睛：为了求得外接球的内接三棱锥的体积的最大值，我们需选择合适的变量构建体积的函数关系式， 因本题中三棱锥的底面三角形确定，顶点在球面上变化，故高最大时体积最大. 10D 【解析】 试题分析：设，若是以 为直角顶点的等腰直角三角形， 由椭圆的定义可知的周长为， ， 考点：椭圆的几何性质. 【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用、椭圆离心率的求解， 着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，本题的解答中，若是以 为直角 顶点的等腰直角三角形，得出，再由椭圆的定义，得到的周长

12、为，列出 的关系式，即可求解离心率. 11A 【解析】 【分析】 判断 f（x）的单调性，求出 f（x）的值域，根据 y=f（x）与 y=f（f（x）有相同的值域得出 f（x）的 最小值与极小值点的关系，得出 a 的范围 【详解】 f（x）=lnx，故而当 x1 时，f（x）0，当 0x1 时，f（x）0， f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增， f（x）的最小值为 f（1）=2a-1 即 f（x）的值域为2a-1，+）， 函数 y=f（x）与 y=f（f（x）有相同的值域， 2a-11，且 解得： 故选：A 【点睛】 本题考查了函数的单调性判断，函数最值的计算，属于中档题

13、12C 【解析】 【分析】 利用三角函数、对数函数、指数函数的单调性直接求解 【详解】 cab 故选：C 【点睛】 本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用 131 【解析】 【分析】 直接利用对数的运算性质和分数指数幂化简求值； 4 【详解】 及答案为 1. 【点睛】 本题考查了有理指数幂的化简与求值，考查了对数的运算性质，考查了计算能力，是基础题 144 【解析】 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优 解的坐标，代入目标函数得答案 【详解】 由约束条件作出可行域如图， 联立 ，解得 A（2

14、，0） 化目标函数为 y=2x+z 由图可得，当直线 y=2x-z 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最大值为 22+0=4 故答案为 4. 【点睛】 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 15 【解析】 【分析】 将 x+70拆成（x+10）+60使用两角和的正弦公式展开合并化简即可 【详解】 ，取得最小值 x= 即答案为. 【点睛】 本题考查了三角函数的化简，观察两角的关系，熟练掌握三角公式是解题关键 16 【解析】 【分析】 由题意可知给出的两个向量不共线，则三个向量构成三角形，在三角形中运用余弦定理得到关系式所 以 由有解，利用判别式大于等于 0

15、可求|的范围 【详解】 由题意可知向量不共线，则 5 所以，由 且平面向量 为非零向量得： 故答案为 【点睛】 本题考查了数量积表示两个向量的夹角，考查了转化思想，解答此题的关键是把给出的数学问题转化为 方程有解，是中档题 17（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （）根据 a1=-7，S3=-15，可得 a1=-7，3a1+3d=-15，求出等差数列an的公差，然后求出 an即可； （）由（） ，利用错位相减法可求数列的前 项和 【详解】 （）等差数列an中，a1=-7，S3=-15， a1=-7，3a1+3d=-15，解得 a1=-7，d=2， an=-7+2（n-1）=2n-9； （）由（） ，利用错位相减法， （1）