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1、周口市高三年级（上）期末调研考试数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用集合的交集计算即可.【详解】集合，则故选：D【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2.( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用复数的商的运算化简即可.【详解】故选：C【点睛】本题考查复数的商的运算，分子和分母同时乘以分母的共轭复数即可.3.过椭圆的上顶点与右顶点的直线方程为，则椭圆的标准方程为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【
2、分析】通过直线方程可得椭圆的上，右顶点坐标，从而可确定椭圆方程.【详解】直线方程为，令x=0,则y=2,得到椭圆的上顶点坐标为（0,2），即b=2,令y=0,则x=4,得到椭圆的右顶点坐标为（4,0），即a=4,从而得到椭圆方程为：故选：A【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，属于简单题.4.如图，图中的大、小三角形分别为全等的等腰直角三角形，向图中任意投掷一飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利于小三角形的面积和与所有三角形的面积和比值即可求得概率.【详解】设小三角形的直角边长度为1，则大三角形的直角边长为，则小三角形的面积和为4大三角形的面
3、积和为4，则飞镖落在阴影部分的概率为，故选：B【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关键是计算事件的总面积以及所求事件的面积；5.已知，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利于诱导公式得，即可得到结果.【详解】，则 ，故选：A【点睛】本题考诱导公式和同角三角函数关系式的应用，属于简单题.6.在等腰梯形中，则( )A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C【解析】【分析】根据等腰梯形和有关数据可得，然后由数量积公式计算即可.【详解】在等腰梯形中，过点D,C分别作AB的垂线交AB于点E,F,
4、，则AE=BF=1,可得,则故选：C【点睛】本题考查数量积公式的应用，属于简单题.7.函数的图像大致为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求函数定义域，然后由函数奇偶性排除选项A,D，再由f(2)0可得选项B成立.【详解】函数的定义域为,且即函数为奇函数，图像关于原点对称，排除选项A,D,又f(2)=,排除选项C，故选：B【点睛】函数图象的辨识可以从以下方面入手：1.从函数定义域，值域判断；2.从函数的单调性，判断变化趋势；3.从函数的奇偶性判断函数的对称性；4.从函数的周期性判断；5.从函数的特征点，排除不合要求的图象.8.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的的值为
5、( )A. 0 B. 1 C. D. 2【答案】D【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，可得答案【详解】输入，n=1,第一次循环，m=1,第二次循环，n=2,m=,第三次循环，n=3,m=2，第四次循环，n=4,m=0，可知m的值呈现周期变化，且周期为4，又2019=4，所以当n=2019时，m=2,故选：D【点睛】本题考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题9.已知函数，若在区间内无最值，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出f（x）的对称轴，
6、根据条件得出区间（，2）内不存在整数，再根据，可得（，2）为（0，1）或（1，0）的子集，从而得出的范围【详解】, 若在区间内无最值，则在区间内无对称轴，令,可得k，函数对称轴为x，kZ令2，解得k2，函数f（x）在区间（，2）内无对称轴，区间（，2）上没有整数，由f（x）在（，2）内无对称轴可得，01（，2）（1，0）或（，2）（0，1），或解得0或故选：B【点睛】本题考查正弦函数的性质，函数零点的计算，属于中档题10.如图所示，在三棱柱中，底面，直线与侧面所成的角为，则该三棱柱的侧面积为( )A. B. C. 12 D. 【答案】A【解析】【分析】由线面垂直的判定定理可得BC面，得到直线与
7、侧面所成的角为，然后由题目条件可得AB,BC的长度，从而可得侧面积.【详解】底面，则，,可得BC面，所以直线与侧面所成的角为，又，则该三棱柱的侧面积为2，故选：A【点睛】本题考查线面垂直判定定理的应用和线面角的求法，属于基础题.11.已知双曲线，分别过其左、右焦点，作圆：的切线，四条切线围成的四边形的面积为（），则双曲线的离心率为( )A. B. C. 2 D. 【答案】D【解析】【分析】设出过焦点的切线方程，利用直线与圆相切可得直线方程，根据四边形的面积列出等式，化简即可得到答案.【详解】不妨设过点的切线的方程为：y=k(x+c),即kx-y+kc=0,根据直线与圆相切得到d=a=,平方整理
8、得k=,则切线方程为y= (x+c)，令x=0得y=,即点A(0,),由题意四条切线围成的四边形的面积为bc,即4,2ac=,两边同时除以，得,解得e=故选：D【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，考查双曲线的离心率，考查直线与圆相切条件的应用，属于基础题.12.已知函数在点处的切线与点处的切线互相垂直，则这两条切线与坐标轴围成的四边形的面积为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对函数求导，分别求出在两点处的切线方程，然后根据图像求四边形的面积即可.【详解】函数,则切线的斜率为，f(1)=1,切线的斜率为, f(e)=e-,切线与切线互相垂直，则解得a=, 则切线方程为y
9、-1=-(x-1),即y=-x+2, 切线的方程为y-e+=x-e,即y=x-,解得交点坐标为,A(，0)则两条切线与坐标轴围成的四边形OABC的面积为=,故选：A 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，考查四边形面积的求法，考查计算能力.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在的展开式中，的系数为-40，则_【答案】【解析】【分析】写出二项展开式的通项公式，令r=3，即可得到的系数，计算即可得到a值.【详解】的展开式的通项公式,令r=3,得到的系数为,解得a=故答案为：【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于简单题.14.若满足约束条件则的最大值为_【答案】15【解析】【
10、分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】画约束条件可行域如图：目标函数可化为y+，即斜率为，截距为的动直线，数形结合可知，当动直线过点C时，纵截距最大，z最大由得C（3，3）目标函数的最大值为z3+1215故答案为：15【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目
11、标函数求出最值.15.在中，过作交于，则_【答案】【解析】【分析】在中，由余弦定理得AB和cosA,然后在中,求得AD ,从而可得BD的长.【详解】在中，由余弦定理得即AB=2,又cosA=,在中,AD=,所以，故答案为:【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.16.九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，且，过点分别作于点，于点，连接，则三棱锥的体积的最大值为_【答案】【解析】【分析】由已知可得AEF、PEF均为直角三角形，且AF2，由基本不等式可得当AEEF2时，AEF的面积最大，然后由棱锥体积公式可求得体积最大值【详解】由PA平面ABC，
12、得PABC，又ABBC，且PAABA，BC平面PAB，则BCAE，又PBAE，则AE平面PBC，于是AEEF，且AEPC，结合条件AFPC，得PC平面AEF，AEF、PEF均为直角三角形，由已知得AF2，而SAEF（AE2+EF2）AF22，当且仅当AEEF=2时，取“”，此时AEF的面积最大，三棱锥PAEF的体积的最大值为：VPAEF故答案为：【点睛】本题主要考查直线与平面垂直的判定，基本不等式的应用，同时考查了空间想象能力、计算能力和逻辑推理能力，属于中档题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考
13、生根据要求作答.（一）必考题：60分17.已知数列满足，.（1）若，证明：为等比数列；（2）求数列的前项和.【答案】（1）详见解析（2） 【解析】【分析】（1）将已知等式凑成，然后由等比数列的定义即可得到证明；（2）由（1）得数列的通项，然后利用等比数列求和和裂项相消求法求解即可.【详解】（1），即，又，数列是首项为1，公比为2的等比数列.（2）由（1），得，. .【点睛】本题考查利用定义法证明数列为等比数列，考查分组求和的方法，考查等比数列的前n项和公式和裂项相消求和法的应用，属于基础题.18.如图，在四棱锥中，底面，为的中点.（1）求证：平面；（2）若点在线段上，且满足，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】(1) 连接,为正三角形，即，又，由线面垂直的判定定理即可得到证明；（2）由（1）知，两两垂直，因此以为坐标原点，以，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，然后利用线面角的向量公式计算即可.【详解】（1）如图，连接.由条件知四边形为菱形，且，为正三角形.为的中点，.又，.又底面，底面，.，平面.（2）由（1）知，两两垂直，因此以为坐标原点，以，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示.则，.， .易知.设为平面的一个法向量，则由得取，得.又
