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1、高三年级秋期（理）及答案数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知：如图，集合为全集，则图中阴影部分表示的集合是A. (U B. (U C. U D. (U【答案】C【解析】【详解】因为，所以图中阴影部分表示的集合是 U)，选C.2.已知是关于的方程 （）的一个根，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轭复数），所以为方程两根， ，选A.3.已知双曲线的一条渐近线的方程是：，且该双曲线经过点，则双曲线的方程是A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为双曲线的一条渐近线的方程是：，所以设
2、双曲线的方程 因为过点，所以 ，选D.4.已知：，若函数和有完全相同的对称轴，则不等式的解集是A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ，所以 因此 ，选B.5.已知各项均为正数的等比数列，若，则=_A. B. C. D. 【答案】B【解析】令，其中，则，故，由可得，故,选B.6.已知：，则目标函数A. ，B. ，C. ，无最小值D. ，无最小值【答案】C【解析】如图：,显然过C点，无最小值，选C.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目
3、标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7.设，、，且，则下列结论必成立的是A. B. +0 C. D. 【答案】D【解析】，故是偶函数，而当时，即在是单调增加的.由，可得，即有，即，选D.8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积=A. B. C. D. 【答案】B【解析】该多面体如图示，外接球的半径为,为外接圆的半径，故，选B.9.执行如图的程序框图，若输出的值是，则的值可以为A. B. C. D. 【答案】C【解析】，；，；，；，；，故必为的整数倍.选C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流
4、程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.10.我们把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形。其作法如下：作一个正方形；以的中点为圆心，以长为半径作圆，交延长线于；以为圆心，以长为半径作；以为圆心，以长为半径作交于，则为黄金三角形。根据上述作法，可以求出A. B. C. D. 【答案】B【解析】不妨假设，则，故,选B.11.已知抛物线：（），过其焦点的直线交抛物线于、两点（点在第一象限），若，则的值是A. B. C. D. 【答案】A【解析】，即，不妨设，则，即有，又因为，故：，选A.点
5、睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理 2若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出,本题就是由韦达定理得到；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到12.已知，若函数有且只有一个零点，则实数（ ）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】将方程整理得，设，则由题意，直线是函数的一条切线，不妨设切点为，则有：，解之得：，,选B.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极
6、值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等二、填空题：13._（小数点后保留三位小数）。【答案】【解析】14.已知向量a(1,2)，b(2，4)，|c|，若(ab)c，则a与c的夹角的大小是_.【答案】120【解析】由条件知|a|，|b|2，ab(1，2)，|ab|，(ab)c，cos，其中为ab与c的夹角，60.aba，ab与a方向相反，a与c的夹角为120.15.已知：，则的取值范围是_【答案】【解析】由得，易得，故，.点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换
7、函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.16.在四边形中，为等边三角形，则的外接圆与的内切圆的公共弦长=_.【答案】1【解析】的外接圆恰好过AD,CD中点E,F，所以公共弦长 三、解答题：17.已知数列的前项和为，且满足（）（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项关系，得项之间递推关系，再根据等比数列定义以及通项公式得结果
8、（2）因为 ，所以利用分组求和法求偶数项的和，再根据奇数项与偶数项关系得奇数项的和，最后根据规律合并，得数列的前项和试题解析：解：（1）当时，解得当时，两式相减得，化简得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，可得 （2）由（1）得，当为偶数时，；当为奇数时，为偶数，所以数列的前项和点睛：本题采用分组转化法求和，当项数为偶数时将原数列转化为一个等差数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如 ），符号型（如 ），周期型（如 ）18.如图1，在平行四边形中，、分别为、的中点，现把平行四边形1沿 折起如图2所示，连接、（1）求证：；（2）若，求二面角的正弦值【答案】(1)见解析(2) 【解析
9、】试题分析：（1）取的中点，计算可得，即得平面，从而可证（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解平面法向量，根据向量数量积得两个法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果试题解析：证明：（1）取的中点，连接，在平行四边形中，、分别为、的中点，为正三角形，则，又，平面， 平面； ，、分别为、的中点， ，则，则三角形为直角三角形，则， 以为原点，以，为轴建立空间直角坐标系，则C（1，0，0），B1（0，0），C1（1，0，0），A（0，0，），则则，=（0，），=（1，0，），设平面AB1C的法向量为，则， 令，则， 则，设平面A1B1A的法向量为，则，令，则，即， 则 二
10、面角的正弦值是.19.为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/mm5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的频率）：评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁试判断设备M的性能等级（2）将直径小于等
11、于或直径大于的零件认为是次品从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望；从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望【答案】(1) 丙(2) 【解析】【分析】（1）利用正态分别曲线的“三段”原理求解；（2）（）由题意可知，于是。（）由题意可知的分布列服从超几何分布，求解即可。【详解】（1）因为设备的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；（2）易知样本中次品共6件，可估计设备生产零件的次品率为0.06.（）由题意可知，于是，（）由题意可知的分布列为故.【点睛】：本题考查了正态分别曲线的“三段”原理，二项分布、超几何分布的知识的综合运用20.平面直角坐标系中，已知椭
12、圆 （）的左焦点为F，离心率为，过点F且垂直于长轴的弦长为（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点A，B分别是椭圆的左、右顶点，若过点P（2，0）的直线与椭圆相交于不同两点、求证：；求面积的最大值【答案】(1) (2) 见解析【解析】试题分析：（）根据离心率与垂直于长轴的弦长列出方程，求得的值，从而得到椭圆方程；（II）方法一：（i）分直线的斜率是否为0讨论，当时，设，直线的方程为，联立椭圆方程，结合判别式求得的范围，从而由使问题得证；（ii）由结合（）用韦达定理写出表达式，利用基本不等式求出最大值；方法二：（i）由题意知直线的斜率存在，设其方程为，联立椭圆方程，由判别式求得的取值范围，从而由使问
13、题得证；（ii）由弦长公式求得，用点到直线的距离求得边上的高线长，从而得到的表达式，进而用换元法求解试题解析：解：（1）， 又，所以所以椭圆的标准方程为（2）（i）当AB的斜率为0时，显然，满足题意当AB的斜率不为0时，设，AB方程为代入椭圆方程整理得，则，所以，即（ii）当且仅当，即（此时适合0的条件）取得等号三角形面积的最大值是方法二（i）由题知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：，设，联立，整理得，则，所以，即（ii）点到直线的距离为，=令，则，当且仅当，即（此时适合0的条件）时，即三角形面积的最大值是考点：1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、直线方程；4、基本不等式【方法点睛】求解圆锥曲线中的最值问题，主要围绕直线与圆锥曲线的位置关系问题进行设计，解答时可考两为两个方向：（1）几何法，就是根据圆锥曲线的定义及几何性质，利用图形直观解决；（2）函数法，即通过建立函数，求其最值即可21.已知函数，且函数的图象在点处的切线与直线垂直（1）求；（2）求证：当时，【答案】(1) ，；(2)见解析【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得切线斜率为，再根据切线与直线垂直得，根据，解方程组可得；（2）将不等式化为两个函数大小比较:， ,利用导数求
