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1、第四章 频 率 特 性 分 析,4.1 频率特性概述 4.2 频率特性的图示方法 4.3 闭环频率特性（自学） 4.4 频率特性的特征量 4.5 最小相位系统与非最小相位系统 4.6 利用MATLAB对系统进行频率特性分析,时域分析的缺陷,高阶系统的分析难以进行； 难以研究系统参数和结构变化对系统性能的影响； 当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的分析工作将无法进行。,频域分析： 频率特性分析法是经典控制理论中常用的分析与研究系统特性的方法。 频域分析的目的：以输入信号的频率为变量，在频率域，研究系统的结构参数与性能的关系。 频率特性包括幅频特性和相频特性，它在频率域里全面地描述了系统
2、输入和输出之间的关系即系统的特性。 频率特性在有些书中又称为频率响应。本书中频率响应是指系统对正弦输入的稳态输出。 通过本章的学习将会看到，频率特性和频率响应是两个联系密切但又有区别的概念。,频率特性分析方法具有如下特点： 这种方法可以通过分析系统对不同频率的稳态响应来获得系统的动态特性。 频率特性有明确的物理意义，可以用实验的方法获得。这对那些不能或难于用分析方法建立数学模型的系统或环节，具有非常重要的意义。 不需要解闭环特征方程。由开环频率特性即可研究闭环系统的瞬态响应、稳态误差和稳定性。,优点：,无需求解微分方程，图解(频率特性图)法间接揭示系统性能并指明改进性能的方向 易于实验分析 可
3、推广应用于某些非线性系统（如含有延 迟环节的系统）； 可方便设计出能有效抑制噪声的系统。,4.1 频率特性概述,解：,由Laplace反变换得：,系统的稳态输出为,幅值是频率的函数 相位是频率的函数 输出频率不变,Asint,2、频率特性,线性系统在谐波信号输入时，其稳态输出随频率变化的特性，称为该系统的频率特性.,注意： 频率特性是系统在频域的数学模型,=输出相位-输入相位,= (),二、频率特性的求法,1、利用系统的频率响应来求,2 、用传函G(s)的s换为j来求,复数表示法： （1）代数表示法： a+jb,（2）指数表示法： |A|ej （3）极坐标表示法：|A|,复数的运算法则：,已知
4、复数： A=a+jb=A1 1 B=c+jd=B1 2 1）两复数相加：实部相加，虚部相加 A+B=(a+c)+j(b+d) 2）两复数相减：实部相减，虚部相减 A-B=(a-b)+j(b-d),3）两复数相乘：幅值相乘，相位相加,AB=(A1B1) 1+ 2 4）两复数相除：幅值相除，相位相减,相频特性：()=-arctanT,例 求惯性环节 的频率特性,例 求闭环传函为 的频率特性,3、实验方法求频率特性进而求G(s) (当传函未知时采用),系统,几点说明,频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。 尽管频率特
5、性是一种稳态响应，但系统的频率特性与传递函数一样包含了系统或元部件的全部动态结构参数，因此，系统动态过程的规律性也全寓于其中。,应用频率特性分析系统性能的基本思路：,实际施加于控制系统的周期或非周期信号都可表示成由许多谐波分量组成的傅立叶级数或用傅立叶积分表示的连续频谱函数，因此根据控制系统对于正弦谐波函数这类典型信号的响应可以推算出它在任意周期信号或非周期信号作用下的运动情况。,三、频率特性的特点和作用,1、对频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析,2、通过分析不同的谐波输入，以获得系统 的动态特性,3、可方便的分析系统的结构及参数的变化对系统性能的影响 4、可方便分析高阶系统的性能
6、 5、可设计出合适的通频带，以控制系统噪音的影响,4.2 频率特性的图示方法,一、频率特性的极坐标图 1、定义,其中，P()、Q()分别称为系统的实频特性和虚频特性。显然：,以频率特性|G(j)|G (j)作为一矢量，当由0变化到时，矢量的端点在复平面上形成的轨迹称为Nyquist图。,相角()的符号规定逆时针方向旋转为正。,2 、典型环节的Nyquist图,（1）比例环节 传递函数： G(s) = K 频率特性： G(j) = K = Kej0 =K0 幅频特性： A() = K 相频特性： () = 0 实频特性： P() = K 虚频特性： Q() = 0,比例环节Nyquist图,（2
7、）积分环节,传递函数：,频率特性：,幅频特性：,相频特性： () = -90,虚频特性：,实频特性：,积分环节Nyquist图,积分环节具有恒定的相位滞后。,（3）微分环节,传递函数：,频率特性：,实频特性：,虚频特性：,幅频特性：,相频特性： () = 90,微分环节Nyquist图,微分环节具有恒定的相位超前。,（4）惯性环节,传递函数：,频率特性：,相频特性： () = - arctgT,幅频特性：,实频特性：,虚频特性：,注意到：,即惯性环节的奈氏图为圆心在(1/2, 0)处，半径为1/2的一个圆。,（5）一阶微分环节,传递函数：,频率特性：,幅频特性：,相频特性： () = arct
8、an,无论为何值,实频特性：Re()=1 相频特性：()=arctan ,（6）振荡环节,传递函数：,振荡环节的Nyquist图, = 0时, = n时, = 时,二阶系统的Nyquist图,谐振现象,由振荡环节的幅频特性曲线可见，当 较小时，在 = n附近，A()出现峰值，即发生谐振。谐振峰值 Mr 对应的频率r 称为谐振频率。,由于：,由此可求出：,显然r 应大于0，由此可得振荡环节出现谐振的条件为：,谐振峰值：,（7）二阶微分环节的Nyquist图,当 = 0时,当 = 1/时,当 = 时,二阶微分环节Nyquist图,（8）延时环节,传递函数：,频率特性：,幅频特性：,相频特性：,延时
9、环节Nyquist图,3、Nyquist图的一般形状,（1） Nyquist图的绘制步骤,1）求出系统对应的频率特性,2） 分别求=0和=时的幅值和相位,|G(j0)|=0.5 G(j0)=0 |G(j)|=0 G(j)=-180o,3）当曲线跨象限时，求曲线和实轴或虚轴的交点；当曲线不跨象限时，求起始点的渐进线,4）勾画大致曲线,例：,解：系统的频率特性为：,则有：|G(j0)|= G(j0)=-900 |G(j)|=0 G(j)=-180o,确定渐近线：,当=0时： 实频特性：u()=-KT 虚频特性：v()=- ,（2）Nyquist图的一般形状,1）一般形状,0型系统：G(j0)=K0
10、 I型系统： G(j0)=-90o II型系统： G(j0)=-180o,b. 当=时,由于系统的分母的阶次n分子的阶次m G(j)=0(n-m) (-90o),2）当系统含有一阶微分环节（导前环节）时， Nyquist曲线将发生“弯曲”,G(j0)=-90o,G(j)=0 -90o,二、频率特性的对数坐标图(Bode图）,1、组成 1）由幅频对数坐标图和相频对数坐标图组成,2）坐标分度,横坐标：按 lg进行分度，但标注真值,10 100 1000 10000 ,dec,纵坐标,幅频：按20lg|G(j)|dB分度 相频：按真实角度线性分度,采用Bode图表示频率特性的优点：,可以将串联环节幅
11、值的乘、除，化为幅值的加、减，简化了计算与作图过程； 可以用近似方法作图，方便了作图； 可分别作出各个环节的Bode图，然后用叠加方法得出系统的Bode图，并由此看出各环节对系统总特性的影响； 对于横坐标采用对数分度，所以能把较宽频率范围的图形紧凑地表示出来。,2、典型环节的Bode图,（1）比例环节 G(j)=K0 L()=20lgA()=20lgK,=0 1,=-20dB 10,=-40dB 100,（2）积分环节,当=1时，L()=20lgK,（3）微分环节 G(s)=s,与积分环节互为镜像,（4）惯性环节,低频段( 1/T ),即低频段可近似为0dB的水平线，称为低频渐近线。,对数相频
12、特性： () = - arctgT,对数幅频特性：,高频段( 1/T ),即高频段可近似为斜率为-20dB/dec 的直线，称为高频渐近线。,一阶惯性环节Bode图,转折频率（ 1/T ),低频渐近线和高频渐近线的相交处的频率点 1/T，称为转折频率（截止频率）。 在转折频率处，L() -3dB，()-45。 惯性环节具有低通滤波特性。 渐近线误差,（5）一阶微分环节 G(s)=Ts+1,与惯性环节互为镜像,一阶微分环节相当于高通滤波器 因此，一阶微分环节对高频信号有较大的放大作用，这意味着系统抑制噪声能力的下降。,（6）振荡环节,对数幅频特性,低频段( n),即低频渐近线为0dB的水平线。,
13、高频段( n),即高频渐近线为斜率为-40dB/dec 的直线。 两条渐近线的交点为n。即振荡环节的转折频率等于其无阻尼固有频率。,对数相频特性,易知：,振荡环节Bode图,渐近线误差分析,由图可见，当 较小时，由于在 = n 附近存在谐振，幅频特性渐近线与实际特性存在较大的误差， 越小，误差越大。,当0.380.7时，误差不超过3dB。因此，在此 范围内，可直接使用渐近对数幅频特性，而在此范围之外，应使用准确的对数幅频曲线。,准确的对数幅频曲线可在渐近线的基础上，通过误差曲线修正而获得或直接计算。,（7）二阶微分环节,注意到二阶微分环节与振荡环节的频率特性互为倒数( 1/n )，根据对数频率
14、特性图的特点，二阶微分环节与振荡环节的对数幅频特性曲线关于 0dB 线对称，相频特性曲线关于零度线对称。,（8）延时环节（ G(j)=1-T ）,L()=0 ()=-T,3、绘制系统Bode图的步骤,1）由G(s)确定系统的典型环节形式,2）确定积分环节的个数和比例系数K,一个积分环节,起始直线斜率为-20dB/dec,K=5,在=1处直线的值为20lgK=14dB,3） 确定各环节的转折频率（=1/T）,1=1 2=20 4）确定坐标的起始频率(o0.1min) o=0.1 5）将传函按转折频率的大小依次由小到大排列,-20,-20,-20,6）画出系统的Bode图的渐进线,（依据：当直线和
15、直线相加，则两直线的斜率相加）,4.3 闭环频率特性（自学）,4.4 频率特性的特征量,一、零频幅值A(0),：反映系统的稳态精度,A(0) 1,系统的误差,二、谐振频率r和相对谐振峰值,反映系统的相对平稳性,Mr,系统的平稳性,三、截止频率b和截止带宽0 b,b-A()衰减到0.707A(0)处的频率,反映了系统的静态噪音滤波特性,b,b,系统的tr,系统的滤波效果,系统的tr,系统输出信号失真较大,4.5 最小相位系统与非最小相位系统,一、定义 在复平面的右半平面上没有极点和零点的传函为最小相位传函，对应的系统为最小相位系统 延迟环节通常视为非最小相位环节。,二、最小相位系统的特点,1、最小相位系统的相位变化范围最小,相位差： =(n-m) (-90o),相位差：0,相位差：180o,2、最小相位系统的对数幅频特性和相频特 性之间有对应关系,对数幅频曲线斜率是：20(n-m)dB/dec 相位角变化为：90o(n-m) 即当幅频图的斜率变化一个20dB/dec时，相应的相频图的相位角变化90o 因此，对于最小相位系统，
