曾谨言量子力学课件第二章

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1、第二章 一维势场中的粒子,2.1 一维势场中粒子能量本征态的一 般性质 2.2 方势 2.3 势 2.4 一维谐振子,1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质,在继续阐述量子力学基本原理之前，先用Schrodinger 方程来处理一类简单的问题 一维定态问题（一维无限深势阱，线性谐振子，势垒贯穿）。其好处主要有四：,（1）有助于具体理解已学过的基本原理； （2）有助于进一步阐明其他基本原理； （3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来； （4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。,下面先讨论一维粒子的能量本征态的一些共同的特点。设粒子

2、质量为m，沿x方向运动，势能为V（x），则Schrodinger方程表示为：,对于定态，即具有一定能量E的状态，波函数形式为,（3）,（1）,（2）,（4）,定理1 设 是方程（3）的一个解，对应的能量本征值为E，则 也是方程（3）的一个解，对应的能量也是E。,证明,取复共扼,得证,定理2 对应于能量的某个本征值E，总可以找到方程（3）的一组实解，凡是属于E的任何解，均可表示为这一组实解的线性叠加。,定理3 设V（x）具有空间反射不变性，V（x）V（x）。如 是方程（3）的对应于能量本征值E的解，则 也是方程（3）的对应于能量本征值E的解。,证明,得证,空间反射算符P定义为,按定理3，如V（x

3、）V(x)，则 与 都是对应于同一能量E的量子态。如果对应于某能量E，方程（3）的解无简并，则解必有确定的宇称。,偶宇称,奇宇称,则称波函数没有确定的宇称。,定理4 设V（x）V（x），则对应于任何一个能量本征值E，总可以找到方程（3）的一组解（每一个解都有确定的宇称），而属于能量本征值E的任何解，都可用它们来展开。,对于一维方势场，可证明下列定理：,定理5 对于阶梯方位势 有限，则能量本征函数 及其导数必定是连续的（但如果 ，则定理不成立）。,（11）,证明,在V（x）发生阶梯形跳跃处，,有限跃变,在xa邻域对方程（11）积分,连续,得证,定理6 对于一维粒子，设 和 均为方程（3）的属于同

4、一能量本征值E的解，则,定理7 设粒子在规则势场V（x）（势场中无奇点）中运动，如存在束缚态，则必定是不简并的。,2 方势,（一）无限深方势阱 （二）有限深方势阱 （三）束缚态与离散谱 （四）方势垒的反射和透射 （五）方势阱的反射、透射和共振,2.2.1一维无限深势阱,求解 S 方程 分四步： （1）列出各势域的一维S方程 （2）解方程 （3）使用波函数标准条件定解 （4）定归一化系数,在阱内（0xa），能量本征方程为,（2）,一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的。,讨论： （a）最低能级不为0； （b）节点； （c）波函数在全空间连续，但微商在x0和a点不连续。,（10）,2.2.2 有限

5、深对称方势阱,在阱外（ ，经典禁区）,在阱内（ ，经典允许区）,考虑势阱具有空间反射不变性，,（a）偶宇称态,（b）奇宇称态,在对称方势阱情况下，无论 的值多少，至少存在一个束缚态（基态），其宇称为偶。 对奇宇称，只有 ，才可能出现最低的奇宇称能级。,2.2.3 束缚态与离散谱,束缚能量本征态（EV0）的能量是离散的，它是束缚态边条件下求解能量本征方程的必然结果。,在经典允许区（VE），波函数是振荡函数，EV越大的区域，振荡越快；此外，由于两者符号相反，波函数总向x轴弯曲。,在经典禁区（VE），波函数是e指数，而且由于两者符号相同，波函数总背离x轴弯曲。,2.2.4 方势垒的反射与透射,势垒穿

6、透是粒子入射被势垒散射的 一维运动问题。典型势垒是方势垒， 其定义如下：,考虑 ，在势垒外,入射粒子流密度为,反射流密度和透射流密度分别为,反射系数和透射系数分别为,在势垒内部,此结果表明，即使 ， 透射系数 一般不等于零。,(44),粒子的能量虽不足以超越势垒 , 但在势垒中似乎有一个隧道, 能使少量粒子穿过而进入 的区域 , 所以人们形象地称之为隧道效应 .,隧道效应的本质 : 来源于微观粒子的波粒二相性 .,以上二式说明入射粒子一部分贯穿势垒到 的III区域，另一部分则被势垒反射回来。,表明粒子数守恒,(45),例1: 入射粒子为电子。,设 E=1eV, U0 = 2eV, a = 2

7、10-8 cm = 2， 算得 T 0.51。 若a=5 10-8cm = 5 则 T 0.024，可见 透射系数迅速减小。,若a=5 10-8cm = 5 ， 则 T 0.024，可见 透射系数迅速减小。,质子与电子质量比 p/e 1840。 对于a = 2 则 T 2 10-38。 可见透射系数明显的依赖于 粒子的质量和势垒的宽度。,例2: 入射粒子为质子。,由例1、2看出，只有粒子的质量和势垒宽度比较小时，隧道效应才显著,应用实例,1962年,Josephson预言了Josephson节。将两块超导体用一绝缘层隔开,如果绝缘层较厚,电流则不易通过绝缘层。但如果绝缘层够薄，则超导体中的库珀

8、电子对按一定几率穿透绝缘层形成电流。Josephson节是宏观量子隧道效应的一个典型例子 量子力学提出后，Gamow 首先用势垒穿透成功的说明了放射性元素的衰变现象。,隧道效应已在现代技术中得到广泛应用，如隧道二极管、约瑟夫逊隧道结、扫描隧道显微镜等。,STM的发明者宾尼、罗雷尔和电子显微镜的发明者卢斯卡分享了1986年诺贝尔物理奖。,第一台扫描隧道显微镜STM是由美国IBM公司的宾尼和罗雷尔在1982年发明的，它的显微分辨率超过电子显微镜数百倍，达到0.1nm。,扫描隧道显微镜（STM）装置示意图,E,STM显示的生物DNA分子表面图像,用STM得到的神经细胞象,硅表面77重构图象,中国科学

9、院科学家的“原子书法”,在石墨表面上刻蚀的出来最小的中国地图 （纳米量级）,在硅单晶表面上提走硅原子形成宽度为 2 纳米的线条字样,操纵原子已不是梦,“扫描隧道绘画”,一氧化碳“分子人”,1991年恩格勒等用STM在镍单晶表面逐个移动氙原子，拼成了字母 IBM，每个字母长 5 纳米,用STM移动48个Fe原子到Cu表面上构成的 “量子围栏”,(49),2.2.5 方势阱的反射、透射与共振,(51),共振透射,如 ，则T1，这是意料中的事，因此时无势阱。 但一般情况下， 则 T1， ，即粒子有一定概率被势阱弹回。这完全是一种量子效应，非经典力学可以解释的。,3 势,2.3.1 势的穿透,跃变条件

10、,势垒,根据x0点波函数连续及跃变条件，有：,讨论： 1）势垒换成势阱，透射系数、反射系数的值不变。 2）特征长度 ，特征能量 ，透射波的振幅只依赖于 ，而透射系数只依赖于 当 ，即高能极限下粒子将完全穿透势垒。 3）波函数的导数在x0处不连续，但粒子流密度连续。,2.3.2 势阱中的束缚态,跃变条件 (19),势阱,在x不为0处，V（x）0，所以E0为游离态，E可以取一切实数值，是连续变化的，而E0时，则可能存在束缚态。,A）偶宇称态,归一化条件,特征长度,粒子能量本征值,B）奇宇称态,从物理上考虑，奇宇称波函数在x0点必为零，而势又恰好只在x0点起作用。所以势对奇宇称态没有影响，不可能形成

11、束缚态。,2.3.3 势与方势的关系，跃变条件,在微观物理学中，势常作为一种理想的短程作用来讨论问题， 势可看作方势的一种极限情况。所有涉及势的问题，原则上都可以从方势情况下取极限而得以解决。但直接采用势来求解，往往简便得多。下面仅就跃变条件来讨论。,跃变条件,现在让,当,有,4 一维谐振子,自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。,量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中运动

12、的粒子。,若取V0 = 0，即平衡位置处于势 V = 0 点，则,（1）方程的建立 （2）求解 （3）应用标准条件 （4）厄密多项式 （5）求归一化系数 （6）讨论,为简单计，引入无量纲变量代替x，,2. 方程的求解,（7）,为求解方程，我们先看一下它的渐 近解，即当 时波函数 的行为。在此情况下， 2， 于是方程变为：,其解为： =exp2/2，,欲验证解的正确性，可将其代回方程，,2 1,方程（7）在 处的有限解为,波函数有限性条件：,当 时，应有 c2 = 0，,因整个波函数尚未归一化，所以c1可以令其等于1。最后渐近波函数为：,其中 H() 必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件。

13、即： 当有限时，H()有限； 当时，H()的行为要保证() 0。,本征函数:,用常微分方程的幂级数解法求厄密方程（10）满足有限性条件的有限解，可得厄密方程本征值问题的本征值：,(11),将()表达式代入 方程得关于 待求函数 H()所满足的方程：,厄密多项式的微分形式,几个厄密多项式：,由归一化条件,并运用积分公式：,3. 线性谐振子的能量本征函数,本征波函数,(14),4. 线性谐振子的本征能量,由(5)和(11)式,即由 和,1 能量的本征值：,（1）能量谱为分离谱，两能级的间隔为,（2）对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级是非简并的，每个能级的简并度为1（一能级对应

14、的量子态数称为该能级的简并度）,（3）基态能量： （又称零点能）,零点能不等于零是量子力学中特有的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的“静止的” 波是没有意义的，零点能是量子效应，已被绝对零点情况下电子的晶体散射实验所证实 。,讨论,基态能量：,基态本征函数：,2. 基态,在 处的势能：,在 范围内动能,由几率密度,看出,粒子在 处出现的几率最大；在 范围内，粒子出现的几率不为零。对其它各能级状态下的波函数可作类似的分析。,在经典情形下，粒子将被限制在 范围中运动。这是因为振子在 处，其势能 ，即势能等于总能量，动能为零，经典的粒子动能不可以小于零，因此粒子被限制在 内。,可见，量子与经典情况完全不同。,3. 具有 宇称,上式谐振子波函数所包含的 是 的偶函数，所以 的宇称由厄密多项式 的宇称决定。 由于 的最高次项是 。当 偶数，则厄密多项式只含的偶次项(偶宇称)； 当 奇数，则厄密多项式只含的奇次项(奇宇称) 。所以, 具有 宇称.,线性谐振子的前六个本征函数,由图可以看出，在有限范围内与轴相交n次，即方程有n个根，或者说有n个节点。,