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1、,（3） 光子的动量,光子不仅具有确定的能量 E = hv，而且具有动量。根据相对论知，速度为 V 运动的粒子的能量由右式给出：,对于光子，速度 V = C，欲使上式有意义，必须令 0 = 0,即光子静质量为零。,根据相对论能动量关系：,总结光子能量、动量关系式如下：,把光子的波动性和粒子性联系了起来,（三）驻波条件,为了克服 Bohr 理论带有人为性质的缺陷， de Broglie 把原子定态与驻波联系起来，即把粒子能量量子化问题和有限空间中驻波的波长（或频率）的分立性联系起来。,例如：氢原子中作稳定圆周运动的电子相应的驻波示意图,要求圆周长是波长的整数倍,于是角动量：,de Broglie
2、 关系,无能量传播,作 业 :,试述德布鲁意假定，并写出一个证实这个假 定的实验；如果一个自由电子具有100 ev的动 能，求其德布鲁意波长。 已知：,物质粒子也具有波粒二象性，其描述波的物理量和粒子的动量与能量的关系为,戴维逊，革末的电子衍射实验首先直接证明了这个假设,P = h/ = h/p,三维情况：,其中,注意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率相同。,作 业,(2),（二）动量空间（表象）的波函数,波函数 (r,t) 可用各种不同动量的平面波表示， 下面我们给出简单证明。,展开系数,令,则 可按p 展开,1. 粒子的
3、状态由归一化的波函数 描述，请问 a) 测量该粒子的坐标位于x1到x2之间的几率是多少？ b）测量该粒子动量的x分量位于P1到P2之间的几率是多少,作 业,坐标位于到之间的几率 b) 动量的x分量位于到之间的几率 其中,比较上面二式得两点结论：,而动量 px 在坐标表象（非自身表象）中的形式必须改造成动量算符形式：,三维情况：,（2）动能算符,（3）角动量算符,作 业,1. 一维谐振子处在如下归一化基态， 求（1）动量的几率分布函数 （2）动能的平均值；,（1）,动量几率分布函数为：,（2）,（2）几率流密度与时间无关,作 业,1.什么是定态？某一量子态的波函数为, 问：这个态是否定态?,定态
4、由波函数,描述，状态的能量有确定值，在 定态中几率密度和几率流密度 不随时间而变,是定态,2.写出定态薛定谔方程，设有一维粒子处在本征波函数：,描述的态中运动，其中,为已知常数，且有,试求位势,和能量 E。,由S.eq：,所以得,作 业,粒子在一维无限深势阱,中运动。试： 1）写出粒子的定态能级和波函数； 2）若某时刻粒子处于状态：,求粒子能量的可能值及相应的几率；,（1）定态能级和波函数,（2）波函数可用本征函数展开为：,处在,态上的几率是,这时能量是,处在,态上的几率是,这时能量是,。,原2a对称势阱结果导出,厄密多项式和谐振子波函数的递推关系：,从上式出发，可导出 厄密多项式的递推关系：
5、,应 用 实 例,例：已知 H0 = 1, H1=2，则 根据上述递推关系得出： H2 = 2H1-2nH0 = 42-2,下面给出前几个厄密 多项式具体表达式： H0=1 H2=42-2 H4 = 164-482+12 H1=2 H3=83-12 H5=325-1603+120,基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数(x)的递推关系：,求解小结：,（三）实例,解： （1）三维谐振子 Hamilton 量,例1. 求三维谐振子各向同性能级， 并讨论它的简并情况,（2）本征方程及其能量本征值,解得能量本征值为：,则波函数三方向的分量 分别满足如下三个方程：,因此，设能量本征方程的解为：,如
6、果系统 Hamilton 量可以写成 则必有：,（3）简并度,当 N 确定后，能量本征值确定，但是对应同一N值的 n1, n2, n3 有多种不同组合，相应于若干不同量子状态，这就是简并。其简并度可决定如下：,当n1 , n2 确定后， n3 = N - n1 - n2，也就确定了，不增加不同组合的数目。故对给定N，n1 , n2, n3 可能组合数即简并度为：,解：Schrodinger方程：,求能量本征值和本征函数。,例2. 荷电 q 的谐振子，受到沿 x 向外电场 的作用，其势场为：,（1）解题思路,势V(x)是在谐振子势上叠加上-q x项，该项是x 的一次项，而振子势是二次项。如果我们
7、能把这样的势场重新整理成坐标变量平方形式，就有可能利用已知的线性谐振子的结果。,（2）改写 V(x),（3）Hamilton量,进行坐标变换：,则 Hamilton 量变为：,作 业,1.求一维谐振子在第一激发态下找到粒子几率最大的位置。,2. 粒子在二维谐振子势,中运动。 求： 1）粒子的定态能级和相应的波函数； 2）讨论最低的三个能级的简并度；,3.,粒子在半壁一维谐振子势阱,中运动。试： ）利用一维谐振子势阱问题的解，考虑波函数的连续性，写出本问题中 粒子的定态能级和归一化的波函数。 2）求本问题的基态时找到粒子几率最大的位置。,（已知：一维谐振子波函数为： ）,1.,3 （1）定态能级
8、和归一化的波函数,（2）找到粒子几率最大的位置,量子力学中最基本的 对易关系。,若算符满足 = - ， 则称 和 反对易。,写成通式:,但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。,注意： 当 与 对易， 与 对易，不能推知 与 对易与否。例如：,（6）对易括号,为了表述简洁，运算便利和研究量子 力学与经典力学的关系，人们定义了 对易括号： , - ,这样一来， 坐标和动量的对易关系 可改写成如下形式：,不难证明对易括号满足如下对易关系： 1) , = - , 2) ,+ = , + , 3) , = ,+ , 4) , + , + , , = 0 上面的第四式称为 Jacobi 恒
9、等式。,(11)厄密共轭算符,由此可得：:,转置算符 的定义,厄密共轭 算符亦可 写成：,算符 之厄密共轭算符 + 定义:,可以证明: ( )+ = + + ( .)+ = . + + +,作业,试述厄密算符的定义。 如果,都是厄密算符，请判断 算符,和,是否厄密算符？,2. 求对易关系,若算符,满足,则,为厄密算符,为厄密算符；,不是厄密算符。,1.,2.,（二）角动量算符,（1）角动量算符的形式,根据量子力学基本假定III， 量子力学角动量算符为:,(I) 直角坐标系,角动量平方算符,经典力学中，若动量为 p，相对点O 的 位置矢量为 r 的粒子绕 O 点的角动量是：,由于角动量平方算符中
10、含有关于 x，y，z 偏导数的交叉项,所以直角坐标下角动量平方算符的本征方程不能分离变量,难于求解,为此我们采用球坐标较为方便.,将上面结果 代回原式得：,则角动量算符 在球坐标中的 表达式为：,求 归 一 化 系 数,正交性：,合记之得 正交归一化 条件：,最后得 Lz 的本征函数 和本征值：,（3）角动量算符的对易关系,证：,小结：,由角动量对易关系：,代入平均值公式：,同理：,例1：证明在 LZ 本征态 Ylm 下， = = 0,例2：已知空间转子处于如下状态:,试问： （1）是否是 L2 的本征态？ （2）是否是 Lz 的本征态？ （3）求 L2 的平均值； （4）在 态中分别测量 L
11、2 和 Lz 时得到的可能值及 其相应的几率。,解：, 没有确定的 L2 的本征值，故 不是 L2 的本征态。,是 Lz 的本征态，本征值为 。,（3）求 L2 的平均值,方法 I,验证归一化：,归一化波函数,方法 II,（4）,作 业：,设,是角动量算符,的共同本征函数，请问：,是动量算符，,是角动量算符。求对易关系,2.,3,1.,2.,3,（1）正交性,定理III： 厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交,证：,设,取复共轭，并注意到 Fm 为实。,两边右乘 n 后积分,二式相减 得：,若FmFn，则必有：,（三）厄密算符的本征函数的正交性,证毕,展开系数 cn与x无关。,由于n(x)
12、组成完备系，所以体系 任一状态(x)可按其展开：,为求 cn ，将m*(x) 乘上式并对 x 积分得：,讨论：,与波函数(x) 按动量本征函数 展开式比较二者完全相同,我们知道：(x) 是坐标空间的波函数； c (p) 是动量空间的波函数； 则 cn 则是 F 空间的波函数， 三者完全等价。,量子力学基本假定IV,综上所述，量子力学作如下假定：,任何力学量算符 F 的本征函数n(x)组成正交归一完备系，在任意已归一态(x)中测量力学量 F 得到本征值n 的几率等于(x)按n(x)展开式： 中对应本征函数n(x)前的系数 cn 的绝对值平方。,作业：,叠加系数满足,定理：一组力学量算符具有共同完
13、备本征函数系的充要条件是这组算符两两对易。,例 1：,例 2： 后续章节讲解,例 3：,例 4：,（1）测不准关系的严格推导,证：,II . 测不准关系的严格推导,设二厄密算符对易关系为：,是算符或普通数,测不准关系,对任意实数 均成立,由代数二次式理论可知，该不等式成立的条件是系数必须满足下列关系：,两个不对易算符均方偏差关系式,测不准关系,均方偏差,其中：,（二）坐标和动量的测不准关系,表明：在任何状态下，坐标与动量的均方偏差不能同时为零，其一越小， 另一就越大。,（1）测不准关系,（2）线性谐振子的零点能,振子能量,被积函数是x 的奇函数,n 为实,处 n =0,于是：,二均方偏差不能同
14、时为零，故 E 最小值也不能是零。,为求 E 的最小值，取式中等号。,则：,求极值：,解得：,因均方偏差不能小于零，故取正,零点能就是测不准关系所要求的最小能量,例1：利用测不准关系证明，在 Lz 本征态 Ylm 下， Lx= Ly= 0,证：,由于在 Lz 本征态 Ylm 中，测量力学量 Lz 有确定值，所以Lz 均方偏差必为零，即,则测不准关系：,平均值的平方为非负数,欲保证不等式成立，必有：,同理：,作业,例2：L2，LZ 共同本征态 Ylm 下，求测不准关系：,解：,由例1 可知：,由对易关系：,等式两边右乘 Lx,将上式两边在 Ylm 态下求平均：,将上式两边在 Ylm 态下求平均：
15、,则测不准关系：,下面列出了前几个径向波函数 R n l 表达式：,（1）本征值和本征函数,（2）能级简并性,能量只与主量子数 n 有关，而本征函数与 n, , m 有关，故能级存在简并。,当 n 确定后， = n - nr- 1，所以 最大值为 n - 1。当 确定后，m = 0,1,2, 。 共 2 + 1 个值。所以对于 E n 能级其简并度为：,即对能量本征值En由 n2 个本征函数与之对应，也就是说有 n2 个量子态的能量是 En。 n = 1 对应于能量最小态，称为基态能量，E1 =Z2 e4 / 2 2，相应基态波函数是 100 = R10 Y00，所以基态是非简并态。,当 E 0 时，能量是分立谱，束缚态，束缚于阱内，在无穷远处，粒子不出现，有限运动,波函数可归一化为一。,n = nr+ + l = 0,1,2,. nr = 0,1,2,.,（五）总结,有心力场下,小结：有心力场,氢原子相对运动定态Schrodinger方程,问题的求解上一节已经解决，只要令： Z = 1, 是折合质量即可。于是氢原子能级和相
