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1、-_2012年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.1已知集合，则AB=（）ABCD2设不等式组，表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于的概率是（）ABCD3设“”是“复数是纯虚数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4执行如图所示的程序框图，输出的值为（）ABCD5如图，于点，以为直径的圆与交于点则（）ABCD6从中选一个数字从、中选两个数字，组成无重复数字的三位数其中奇数的个数为（）ABCD7某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）AB
2、CD8某棵果树前年的总产量与之间的关系如图所示从目前记录的结果看，前年的年平均产量最高，则的值为（）ABCD二.填空题共小题每小题分共分.9直线（为参数）与曲线 （为参数）的交点个数为 10已知是等差数列，为其前项和若，则=11在中，若 ，则= 12在直角坐标系中直线过抛物线的焦点且与该抛物线相交于、两点其中点在轴上方若直线的倾斜角为则的面积为 13己知正方形的边长为，点是边上的动点则的值为14已知,若同时满足条件：或；则的取值范围是三、解答题公6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15已知函数.（1）求的定义域及最小正周期；（2）求的单调递增区间16如图，在中， ，分别是上的
3、点，且，将沿折起到的位置，使，如图（1）求证：平面；（2）若是的中点，求与平面所成角的大小；（3）线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由17近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃
4、圾”箱的投放量分别为，其中当数据的方差最大时，写出的值（结论不要求证明），并求此时的值（求：，其中为数据的平均数）18已知函数.（1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求的值；（2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值19已知曲线（1）若曲线是焦点在轴点上的椭圆，求的取值范围；（2）设，曲线与轴的交点为（点位于点的上方），直线与曲线交于不同的两点，直线与直线交于点求证：三点共线 20设A是由mn个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s（m，n）为所有这样的数表构成的集合对于AS（m，n），记ri（A）为A的第行各数之和（1m），Cj（A）
5、为A的第j列各数之和（1jn）；记K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，|Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，|Cn（A）|中的最小值（1）如表A，求K（A）的值；110.80.10.31（2）设数表AS（2，3）形如11cab1求K（A）的最大值；（3）给定正整数t，对于所有的AS（2，2t+1），求K（A）的最大值2012年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.1（2012北京）已知集合A=xR|3x+20，B=xR|（x+1）（x3）0，则AB=（）A（，1）B（1，）C，3D（
6、3，+）【分析】求出集合B，然后直接求解AB【解答】解：因为B=xR|（x+1）（x3）0=x|x1或x3，又集合A=xR|3x+20=x|x，所以AB=x|xx|x1或x3=x|x3，故选：D2（2012北京）设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）ABCD【分析】本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域 和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可【解答】解：其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形，面积为S1=4，满足到原点的距离大于2所表示的平面区
7、域是以原点为圆心，以2为半径的圆外部，面积为=4，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率P=故选：D3（2012北京）设a，bR“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】利用前后两者的因果关系，即可判断充要条件【解答】解：因为a，bR“a=O”时“复数a+bi不一定是纯虚数”“复数a+bi是纯虚数”则“a=0”一定成立所以a，bR“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件故选B4（2012北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A2B4C8D16【分析】列出循环过程中S与K的数
8、值，不满足判断框的条件即可结束循环【解答】解：第1次判断后S=1，k=1，第2次判断后S=2，k=2，第3次判断后S=8，k=3，第4次判断后33，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8故选C5（2012北京）如图，ACB=90，CDAB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E则（）ACECB=ADDBBCECB=ADABCADAB=CD2DCEEB=CD2【分析】连接DE，以BD为直径的圆与BC交于点E，DEBE，由ACB=90，CDAB于点D，ACDCBD，由此利用三角形相似和切割线定理，能够推导出CECB=ADBD【解答】解：连接DE，以BD为直径的圆与BC交于点E，DEBE，ACB=
9、90，CDAB于点D，ACDCBD，CD2=ADBDCD2=CECB，CECB=ADBD，故选A6（2012北京）从0、2中选一个数字从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数其中奇数的个数为（）A24B18C12D6【分析】分类讨论：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位；从0、2中选一个数字2，则2排在十位或百位，由此可得结论【解答】解：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有=6种；从0、2中选一个数字2，则2排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有=6种；2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有=6种；
10、故共有3=18种故选B7（2012北京）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A28+6B30+6C56+12D60+12【分析】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，所以S底=10，S后=，S右=10，S左=6几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6故选：B8（2012北京）某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（）A5B7C9D11【分析】由已知中图象表示
11、某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系，可分析出平均产量的几何意义为原点与该点边线的斜率，结合图象可得答案【解答】解：若果树前n年的总产量S与n在图中对应P（S，n）点则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率由图易得当n=9时，直线OP的斜率最大即前9年的年平均产量最高，故选C二.填空题共6小题每小题5分共30分.9（2012北京）直线（t为参数）与曲线 （为参数）的交点个数为2【分析】将参数方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离与半径比较，即可得到结论【解答】解：直线（t为参数）化为普通方程为x+y1=0曲线 （为参数）化为普通方程为x2+y2=9圆心（0，0）到直线x+y1=0的距离为d=直
12、线与圆有两个交点故答案为：210（2012北京）已知an是等差数列，sn为其前n项和若a1=，s2=a3，则a2=1【分析】由an是等差数列，a1=，S2=a3，知=，解得d=，由此能求出a2【解答】解：an是等差数列，a1=，S2=a3，=，解得d=，a2=1故答案为：111（2012北京）在ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=，则b=4【分析】根据a=2，b+c=7，cosB=，利用余弦定理可得，即可求得b的值【解答】解：由题意，a=2，b+c=7，cosB=，b=4故答案为：412（2012北京）在直角坐标系xOy中直线l过抛物线y2=4x的焦点F且与该抛物线相交于A、B两点其中点
13、A在x轴上方若直线l的倾斜角为60则OAF的面积为【分析】确定直线l的方程，代入抛物线方程，确定A的坐标，从而可求OAF的面积【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F的坐标为（1，0）直线l过F，倾斜角为60直线l的方程为：，即代入抛物线方程，化简可得y=2，或y=A在x轴上方OAF的面积为=故答案为：13（2012北京）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点则的值为1【分析】直接利用向量转化，求出数量积即可【解答】解：因为=1故答案为：114（2012北京）已知f（x）=m（x2m）（x+m+3），g（x）=2x2，若同时满足条件：xR，f（x）0或g（x）0；x（，4），f（x）g（x）0则m的取值范围是（4，2）【分析】由于g（x）=2x20时，x1，根据题意有f（x）=m（x2m）（x+m+3）0在x1时成立，根据二次函数的性质可求由于x（，4），f（x）g（x）0，而g（x）=2x20
