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1、3.1.4空间向量的正交 分解及其坐标表示,如图，设i,j,k是空间三个两两垂直的向量，且有公共 起点O。对于空间任意一个向量p= ,设点Q为点P 在i,j所确定的平面上的正投影， 由平面基本定理可知， 在 ,k所确定的平面上，存在实数z，使得 而在i,j所确定的平面上，由平面向量基本定理 可知，存在有序之前数对(x,y)， 使得. xi+yj 从而 zk=xi+yj+zk.,一、空间向量基本定理：,如果i,j,k是空间三个两两垂直的向量，对空间任一个向量p，存在一个有序实数组使得 p=xi+yj+zk.我们称xi,yj,zk为向量p在i,j,k上的分向量。,都叫做基向量,叫做空间的一个基底,
2、单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用 表示,正交基底：空间的一个基底的三个基向量互相垂直。,二、空间直角坐标系,二、空间直角坐标系,在空间选定一点O和一个单位正交基底 ,以点O为原点，分别 以 的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴,这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.,三、空间向量的正交分解及其坐标表示,x,y,z,O,i,j,k,P,记作 =(x,y,z),由空间向量基本定理，对于空间任一向量 存在唯一的有序实数组(x,y, z)使,P,P,1已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是( ) A.2a，a
3、b，a2b B2b，ba，b2a C .a,2b，bc Dc，ac，ac,E,F,练习 2,例2、如图，M，N分别是四面体OABC的边OA， BC的中点，P，Q是MN的三等分点。用向量 表示 和 。,3.1.5空间向量运算的坐标表示,一、向量的直角坐标运算,1.距离公式,（1）向量的长度（模）公式,注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。,二、距离与夹角,2.两个向量夹角公式,注意： （1）当 时， 同向； （2）当 时， 反向； （3）当 时， 。,思考：当 及 时，夹角在什么范围内？,在空间直角坐标系中，已知 、 ，则,（3）空间两点间的距离公式,4.设 则 ， AB的中点M的坐标为 ,例1.设 (1,5，1)， (2,3,5) (1)若( )( 3 )，求 ； (2)若( )( 3 )，求 .,练习1: 已知 垂直于正方形 所在的平面, 分别是 的中点,并且 ,求证:,证明:,分别以 为坐标向量建立空间直角坐标系 则,解：设正方体的棱长为1，如图建 立空间直角坐标系 ，则,例2 如图, 在正方体 中， ，求 与 所成的角的余弦值.,
