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1、关于数学思想方法的教学 张奠宙 （ 华东师范大学 ） 方均斌 （ 温 州 大 学 ） 数学思想方法， 大家都耳熟能详但是数学 思想方法如何进行教学？ 却少有文献涉及 尤其 是， 形式化的数学往往被淹没在逻辑演绎的海洋 里， 数学教材就是定义、 符号、 推理、 证明、 结论的 冰冷叙述 至于采用何种思想方法， 教材里不写， 课堂上少讲， 考试里无题因此， 如何在数学教学 中突出数学思想方法的教学， 比较受忽视， 因而也 就成为一块有待开发的处女地本文拟对数学思 想方法在数学教学中的地位和作用作一概述， 并 提供一些教学案例 数学思想方法在教学中的地位与作用 大家知道， 语文课讲究文章的思想性，
2、面对一 篇课文， 首先要分析其“ 主题思想”因此， 语文教 学必须透过文字， 了解作品所体现的真实思想感 情 至于科学课程， 自然要以实验为基础， 然后归 纳出基本定律， 归纳的过程也就展示了科学思想 方法数学思想方法则不然许多人把数学等同于 逻辑， 以为数学能力的核心就是“ 逻辑思维能力” ， 逻辑对了， 就完事了 近几年来， 讲究教学的过程 性目标 就数学教学而言， 数学思想方法的教学， 是我们需要努力达到的一个高端目标 也就是说， 学生学习数学， 如果能够达到把握“ 数学思想方 法”的层次， 应该说是达到了学习目标的高水平 华罗庚在 和青年谈学习 一文中说： “ 什 么叫学深学透？ 这就
3、是要经过 由薄到厚 、 从厚 到薄的过程”他进一步解释道： “ 首先是 由薄 到厚 比如学一本书， 每个生字都查过了， 每个不 懂的句子都进行过分析， 不懂的环节加上了注解， 经过这一番功夫之后， 觉得懂多了， 同时觉得书已 经变得更厚了 有人认为这样就算完全读懂了 其 实不然 每一章每一节、 每一字每一句都懂了， 这 还不是懂的最后形式， 最后还有一个 从厚到薄 的过程， 必须把已经学过的东西咀嚼、 消化， 组织 整理， 反复推敲， 融会贯通， 提炼出关键性的问题 来， 看出了来龙去脉， 抓住了要点， 再和以往学过 的比较， 弄清楚究竟添了些什么新内容、 新方法 这样以后， 就会发现， 书，
4、 似乎 由厚到薄了 经 过这样消化后的东西， 就容易记忆， 就能够得心应 手地运用” 用华罗庚先生的这段话来审视数学教育， 就 是先要打好基础， 进行分析理解， 解题练习， 把教 材读“ 厚” ，然后经过自己的独立思考， 直至掌握 其中的数学思想方法， 这就是“ 由厚到薄”的过 程 日本数学教育家米山国藏也指出： “ 学生在初 中、 高中接受的数学知识， 出校门不到一两年， 很 快就忘掉了， 然而， 不管他们从事什么业务工作， 惟有深深铭刻于头脑中的数学精神， 数学的思维 方法、 研究方法、 推理方法和着眼点（ 如果已培养 了） ， 却 随 时 随 地 地 发 挥 作 用，使 他 们 受 益
5、终 生” 中国数学教学， 其基本呈现方式是“ 模块”模 块的构造如下（ 图） ： 图 首先是主要知识基 桩经过配套连接， 成为一 条“ 知 识 链” ，然 后 通 过 “ 变式”练习形成知识网 络， 再经过数学思想方法 的提炼， 形成立体的知识 模块 数学是一个个双基 模块迭加、 耦合、 连接所 构成的 这里出现的元素都是中国特色的 知识点链， 是指基本知识的学习和把握 变式教学， 是要求学 生做练习， 把书读“ 厚” 然后经过数学思想方法的 提炼， 把书“ 从厚读到薄” 以一元二次方程的模块为例 （ ）在具备整式运算的“ 基桩”技能的基础 上， 首先要形成以方程概念、 求根公式、 韦达定理
6、等为主的知识链， 彼此呼应， 紧密关联 然而这只 年第期 中学数学月刊 本文是正在编写中的 数学思想方法论稿（ 修订版） 里新增的一章 原书由张奠宙、 过伯祥编著（ ， 上海教育出版社） 方均斌 老师 年来华东师范大学访问， 参与了本文的写作 是初步的联结 （ ）通过变式， 讨论各种各样的一元二次方 程， 形成“ 一元二次方程”的知识网， 这是形成“ 双 基模块”的关键一步 这里， 可以采取的变式很 多， 往往用例题、 习题、 考题的不同形态， 使得对一 元二次方程的认识丰满起来例如，有以下的问 题变式途径： 从数字系数到字母系数； 从简单的求根到讨论其实根分布状况； 从正面求根到利用韦达定理
7、研究根的性 质； 从一般的一元二次方程到含有参数的 方程（ 如 之类的方程） ； 从参数的一般性质到参数的变动范围、 最 大（ 小）值 通过上述变式， 做了大量的习题， 不断反思、 纠错、 深化理解， 构成一元二次方程的“ 双基网” （ ）与此同时， 在变式教学过程中逐步渗透 “ 化归” 、 “ 判别式” 、 “ 图象识别” 、 “ 根与系数的联 系”等思想方法 通过这样三个层次的构建， 一元二次方程的 双基模块就在学生的头脑里形成了 数学思想方法的教学特点 数学思想方法的教学， 具有许多自身的特点 简单说来， 就是要超越形式化， 联系数学文化背 景， 引起学生的思想震撼 首先， 数学思想方法
8、教学， 要超越冰冷的形式 演绎体系 数学的学术形态是形式化的演绎体系， 这种 叙述方式好处是严谨、 准确， 体现出冰冷的美丽， 缺点则是枯燥、 呆板， 火热的思考深隐数学教学 的任务是将这种学术形态转换为学生易于接受的 教育形态教育形态的灵魂， 就是数学思想方法 但是， 数学教材里并不正面地阐述数学思想方法， 而是需要教师在教学过程中适时地加以揭示， 不 断积累， 逐步深化， 最后形成一种内在的本质认 识 尤其是， 经常看到数学教材的每章小结里， 就 是一副逻辑框图， 简直把光彩照人的数学女王拍 成了一副光下的骨架 实际上， 每章小结的核心 内容应该是贯穿该章的数学思想方法， 体现出一 种火热
9、的思考过程 当然， 数学思想方法也绝对不能离开形式而 单独教学 数学教学必须渡过“ 枯燥”的“ 形式化” 期， 才能欣赏到背后丰富多彩的数学思想 例如， 数形结合数学思想的一个典型课例是 “ 坐标”思想方法的教学 坐标有许多基本知识： 原点的选取， 坐标轴的架设， 四个象限， 点的坐标 等等 离开了这些具体数学内容， 谈坐标思想就是 一句空话但是，如果总结平面坐标系的知识内 容， 只是画一张逻辑框图， 说“ 坐标就是确定 点 的位置” ， 那就太简单化了坐标思想的实质不能 局限于“ 确定点的位置” ， 应该首先着重指出： 点是 不能计算的， 而“ 坐标”是数， 因而是可以计算的 其次， 用坐标
10、可以表达数学对象 例如， 横纵坐标 相等的点， 恰好构成一条直线， 即 一、 三象限的平 分线 这些说法教材里不会写， 考试也不会考， 但 是却是数学的灵魂 当学习者渡过数学学习的初始“ 枯燥期” ， 背 后的思想方法就往往随学习者的理解和深入而 “ 浮出水面” ， 数学的教育形态也就在其中了 其次， 数学思想方法的教学， 要密切联系数学 文化背景 重要的数学思想方法大多以数学文化作为载 体数学是人做出来的， 数学家的思想必然会打上 他所生存时代的烙印 数学文化又是整个时代文 化的组成部分， 因此， 我们在进行数学思想方法教 学时， 必须揭示其产生的数学文化背景， 才能进一 步体现数学思想方法
11、的价值 例如， 古希腊的公理化思想方法， 是和当时少 数奴隶主的“ 民主政治”分不开的， 而中国的王权 政治不会产生公理化数学思想， 却会产生君王所 需要的“ 管理数学” 中国的 九章算术的“ 方田” 章， 以丈量土地的面积为主题， 就是为征收农业税 服务的计量平面图形面积的“ 出入相补”方法， 其背后的文化背景是国家管理的需要这样的揭 示会比单纯地贴一个“ 化归法”的标签要深刻得 多 再如“ 对称” 的数学思想方法，在意境上和中 国的“ 对联”相当， 都是在变化中找到不变量 于 是“ 变化中不变”的思想方法， 就越出了数学的范 畴， 提升为一种文化现象 第三， 数学思想方法教学的最高境界是让
12、学 生感到思想震撼 数学思想方法的教学伴随着人们对数学的欣 赏， 能够触及学习者的灵魂， 在体验数学的美妙的 同时， 产生心灵的震撼 例如， 三角形三条高（ 中线、 角平分线）交于 中学数学月刊 年第期 一点， 就是一个十分美妙的定理 当学习者通过自己操作， 发现这一结构的时 候， 内心充满了对大自然的敬畏， 感叹人类理性探 索的美妙 这样的震撼是数学教学落实情感态度 与价值观目标的一个重要方面 什么是代数？花拉子米的原始说法是： “ 代数 还原与对消的科学”一句话， 把代数的精神 显示出来了 这样的思想方法比起“ 代数就是字母 代表数”的说法要深刻得多 数学问题解决呈现出的“ 智慧” ， 会
13、使人拍案 叫绝， 心灵震撼 例 因式分解： 当教师把提示（ （ ） （） ）贴在墙上， 无需过多解释， 学 生便会感觉豁然开朗 例 求证： 等腰三角形两底角相等 设等腰三角形 的两腰为 ， ， 则 由 ， ， 得 ， 所以 眼睛一亮， 感觉极好 平面几何的解题经常需要添加辅助线， 一些 看似无法解决的问题， 一旦添了一条辅助线， 就迎 刃而解了！ 这真是太神奇了！ 真是“ 蓦然回首， 那人 却在灯火阑珊处”这种心灵震撼， 往往终生难忘 数学思想方法的教学类型 数学思想方法的教学， 应该有自己的独特的 设计大体上可以分为以下四种类型 （ ）正面论述型 许多内容的名称就是某种数学方法， 需要正 面
14、揭示， 深入挖掘 例如， 算术方法和代数方法， 二 分法， 数学归纳法； 几何证明方法； 极限方法， 等 等 这些方法在教材里只展示如何用于解决某种 问题的操作程序、 过程和规范， 对其背后蕴藏的深 刻数学方法一般很少触及 以比较简单的二分法 求根来说， 其中的存在性和逐步逼近的思想影响 深远， 必须正面提出 当用找线路故障作比喻时， 要指出： 必须肯定在此段内“ 存在”故障，然后用 二分法逐步逼近 研究数学对象的“ 存在性”是一 种基本数学思想， 需要正面提出 （ ）过程展示型 数学的许多主要内容与其说是一种知识， 不 如说是一种思想例如函数、 方程、 坐标、 三角比、 导数， 等等 方程会
15、解了， 但是要解释方程的价值 比算术方法好在哪里？ 有多好？ 这涉及机械化、 计 算机时代数学的视角 不需要在课堂上长篇大论， 但要务必点出再以三角比来说， 如果只记住“ 正 弦”是“ 对边比斜边”之类的定义， 也可以做题目， 拿高分 但是， 三角比的本意来源于折扣率： 角 的正弦， 乃是一个单位正方形， 压扁为一个角为 的单位菱形时，面积所打的折扣正弦， 也是梯子 斜靠在墙上时， 梯子在墙上投影后长度所打的折 扣率 这种观念教材上不会写， 但是需要正面阐 述， 这是教师的责任 （ ）回顾总结型 如上所及， 现在许多教材里的“ 本章小结” ， 只 是一张逻辑框图， 这当然也是需要的， 但是更重要 的是数学思想方法的总结一些复习课， 就是解题 方法的梳理， 至于其背后的数学思想方法则被忽 略了其实， 创设情境可以提倡， 可是数学内容还 没有学习， 对情境的理解一定是肤浅的 好的复习 课则要全方位地梳理原始数学思想， 反思知识展 开过程的关节点所在事后的一个反思， 胜过一打 事前
