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1、多自由度振动,重 点：频率、振型 难 点：建立方程、求刚度 系数、柔度系数,多自由度体系的自由振动,主要内容：振动方程、振型方程、频率方程及振型图,一、柔度法建立振动方程,1. 两个质点的振动,由质点1与质点2的惯性力共同产生,式中，i j 为j质点的惯性力为1时在 i质点处产生的位移。 i ，j = 1，2,设方程的特解形式为,y1(t)= A1sin（t + ）,y2(t)= A2sin（t + ）,记,此式称为振型方程,考虑此式有非零解（否则，体系不振动），则需使,此式称为频率方程,行列式有两个不同实数根1与2 。记,则1称为第一频率或基本频率；则2称为第二频率,将=1 代入振型方程中的
2、任意一个方程，,记为,显然,这表示y1与y2是相关的,得 A2与A1的比值,同理，把=2 代入振型方程中的任意一个方程，得到A2与A1的比值，记为,同样，称 为第二振型,对应于1的振型称为第一振型，或基本振型,说明,从数学上讲，两个不同实数根（特征根）1与2对应的两个振型（特征向量）是线性无关的，故，体系自由振动在任意时刻 t 的位移反应可写作两个振型的线性组合，亦即振动方程的一般解：,y1(t)= A11sin（1t + ）+ A12sin（2t + ）,y2(t)= A21sin（1t + ）+ A22sin（2t + ）,n个自由度体系的振动及其矩阵表示,振动方程可表示为,即，第 i 质
3、点的位移是由所有质点的惯性力在第i质点产生位移的叠加。写成矩阵的形式为：,简写为 ：,称为柔度矩阵,称为质量矩阵,称为位移列向量,称为加速度列向量,-（1）,方程（1）的解设为 ：,式中，,把,代入（1）,记,-（2）,（2）式称为振型方程。同样，（2）式有非零解（否则将不产生振动）的条件是：,-（3）,（3）式称为频率方程,频率方程有n个互不相同的实数根1，2，.，n ，对应着n个互不相同的频率；分别代入（2）式可得到n个线性无关的振型。记， 称为第j振型。,计算举例,图示体系，EI=常数，质点的质量为m，各杆的长度都是L，列振动方程并求各频率和振型，画振型图。,解：1）2个动力自由度，质点
4、的水平位移和竖向位移,2）质点在振动过程中有2 个方向的位移 ，各由2 个方向的惯性力共同产生，振动方程为：,方程中各个系数意义如下：,12 =21 = 0,3）求频率,记，,从而，,解得：,4）求振型,5）画振型图,画振型图时， 完全按照2个振型中的量值，与假定的2个位移方向相协同。,二、刚度法建立振动方程,1. 两个质点的振动,图示简支梁，质量集中在跨中两个质点，如图，具有两个动力自由度。用刚度法建立振动方程时，考虑每个质点的受力平衡。,质点在振动过程中，在惯性力作用下有2个位移，各质点分别受到各自的恢复力而与各自的惯性力平衡,惯性力,弹性恢复力：,恢复力的求法如下,依叠加法可得,振动方程
5、-受力平衡方程,2. n个质点的振动及其矩阵表示,一般方程可写为,写成矩阵的形式为,代入振动方程可得,-振型方程,-频率方程,3. 柔度矩阵与刚度矩阵的关系,计算举例,图示结构弹簧的刚度 KN= ，杆长都是L，列振动方程并求振动频率和振型，作出振型图,解：1）2个动力自由度，质点的水平位移和竖向位移，如图,振动方程,质点在任何时刻要受力平衡,问题转化为求质点在任意时刻 t 在2 个方向上受到的恢复力,恢复力的求法,问题转变为： 质点位移后的弯矩图,为此，先求出2个方向分别单位位移的弯矩图，然后叠加,也就是求解右图所示在支杆1、2 分别移动时的弯矩图,支杆1单位位移时的弯矩图：,求系数,求系数,类似的方法求支杆2有水平侧移=1时的K12及K22,弹性恢复力,2) 求频率和振型,3）振型图,画振型图时， 完全按照2个振型中的量值，与假定的2个位移方向相协同。,
