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1、1 函数的图象与性质函数的图象与性质 一、基础知识一、基础知识 1、函数的性质 （1）奇偶性奇偶性 设函数的定义域为，且是关于原点对称的数集.若对任意的，都( )f xDDxD 有，则称是奇函数；若对任意的，都有，则称是偶()( )fxf x ( )f xxD()( )fxf x( )f x 函数. （2）单调性单调性 设函数在区间上满足：对任意，并且时，总有( )f x D 12 ,x x D 12 xx ，则称是区间上的增函数（减函数），区间称为的 1212 ()()( ()()f xf xf xf x( )f x D D ( )f x 一个单调增（减）区间. 复合函数的单调性的判断依据：
2、“同增异减”. ( )yf g x （3）函数的周期性周期性 对于函数，如果存在一个不为零的正数，使得当取定义域中的每个数时，( )f xTx 总成立，那么称是周期函数，称为这个周期函数的周期.如果函数()( )f xTf x( )f xT 的所有正周期中存在最小值，称为周期函数的最小正周期.( )f x 0 T 0 T( )f x 2、函数的图象 （1）平移变换 （2）伸缩变换 （3）对称变换 二、基础训练二、基础训练 1、若函数存在反函数，则的图象与的图象关于直线( )yx 1( ) yx 1( ) yx ()yx _对称. 2 【解】互为反函数的两个函数的图象关于直线对称，与的图象关于原
3、yx()yx ( )yx 点对称，故的图象与的图象关于直线对称. 1( ) yx ()yx yx 2、对，设，那么的最大值为_xR( )min41,2, 24f xxxx( )f x 【解】利用数形结合可知. max 8 ( ) 3 f x 3、设，其中，若，则的最小值是( ) |15|15|f xxpxxp015p15px( )f x _ 【解】当时，故.15px( ) |15|15|30f xxpxxpx min ( )15f x 4、函数的定义域为，且满足，方程有个实根，这( )f xR( )(12)f xfx(6)0f( )0f x n 个根和为 1992，那么是_nn 【解】由已知函
4、数的对称轴为，因，故为偶数，且，从而( )f x6x (6)0fn121992 2 n .332n 5、设，且满足，则_, x yR 3 3 (1)2007(1)1 (1)2007(1)1 xx yy xy 【解法一】函数在上单调递增，而，所以 2 ( )2007f tttR 3 3 (1)2007(1)1 (1)2007(1)1 xx yy ，故，即.(1)1(1)f xfy 11xy 2xy 【解法二】令，两式相加可得答案.1ax1by 6、函数的定义域为，且满足：( )f xR （1）是偶函数，且； （2）是奇函数，( )f x(0)993f( )(1)g xf x 3 则_(1992)
5、f 【解】由已知得，从而，即()( )fxf x(1)(1)fxf x (1)(1)f xf x ，故.(4)( )f xf x(1992)(04 498)(0)993fff 三、典型例题三、典型例题 1、已知是定义在上的函数，且对任意都有，( )f xR(1)1fxR(5)( )5f xf x ，若，求.(1)( ) 1f xf x( )( ) 1g xf xx (2002)g 【解】由得，进一步可得，(1)( ) 1f xf x(2)(1) 1( )2f xf xf x (5)( )5f xf x 故，从而.(5)( )5f xf x(1)( ) 1f xf x 所以，(2002)(200
6、1) 1(2000)2(1)20012002ffff .(2002)(2002) 1 20021gf 2、已知定义在上的单调函数满足且.R( )f x()( )( )f xyf xf y(1)2f （1）求证：为奇函数；( )f x （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.2t 2 222 ( log)(loglog2)0f ktfttk 【解】（1）令得，.0xy(0)2 (0)ff(0)0f 再令，得，即为奇函数.yx (0)( )()ff xfx()( )fxf x ( )f x （2），且是上的单调函数，故是上的单调递增函数，又(0)0f(1)2f( )f xR( )f xR 是奇
7、函数，由得( )f x)2log(log)2log(log)log( 2 2 2 2 222 ttfttftkf 4 ， ， ， 2 222 logloglog2kttt 22 loglog 21t 2 2 2 log1 log kt t ， ， 2 2 2 log2 2 log t t 2 21k 故使不等式恒成立的实数的范围是.k(,2 21) 3、设为实常数，关于的不等式有非零解.ax 1 11 x a xx （1）求证：； （2）试求出的最大值. 1 3 a a 【解】由已知得，故，从而有大于 1 的解. 0 0 1 0 x x x x 1x 1x a xx （1）记，则 1x y x
8、x 111 11 1 111 1 xxx y xxxxxx . 11 1 3 11 1 x x （2）令 22 1111 ()1 (1)()1 (1) 212212 ()() xxxxxx xxxx y xxxx ，即， 2 21 0 2(1)() x xx x xxx 210x xx 设，则有，方程化为，即，(1)xt t 2 xt 3 210tt 2 (1)(1)0ttt 5 解得或（舍去）， 15 2 t 15 2 t 2 35 2 xt 当时，为增函数； 35 1 2 x 0y y 当时，为减函数， 35 2 x 0yy 则当时，有最大值， 35 2 x y max ( 52) 2 5
9、2 2 y 故的最大值是.a ( 52) 2 52 2 4、函数是定义在正整数集上，在中取值的严格增函数，且满足条件，( )f kNN( ( )3f f kk 试求值.(1)(9)(36)fff 【解】若，则，与题设矛盾，所以.(1)1f( (1)13f f (1)2f 由得 （1）3( (1)(2)(1)2f fff(1)2,(2)3ff （2）(3 )( ( ( )3 ( )fnf f f nf n 由（1）及（2）即得，(3 )3(1)2 3 nnn ff 1 (2 3 )3(2)3,0,1,2, nnn ffn 注意到与之间共有个自然数，而与之间也恰有个自然数，2 3n 1 3n31 n 3n2 3n31 n 由的严格单调性，可得，f(3)2 3,03 ,0,1,2, nnn fmmmn 由上式即得，于是(2 3)( (3)3(3) nnn fmf fmm 6 . 2 3,3,03 ( ) 3(3),2 3,03 kkk kkk mnmm f n mnmm 若 若 从而.(1)(9)(36)=2+18+63=83fff 【说明】本题可直接计算 3 个函数值.
