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1、辽宁省辽南协作体辽宁省辽南协作体 20192019 届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试 题题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，共小题，共 60.060.0 分）分） 1.已知 i 是虚数单位，复数，下列说法正确的是 A. z 的虚部为B. z 对应的点在第一象限 C. z 的实部为D. z 的共复数为 【答案】D 【解析】 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案 【详解】解：， 的虚部为；z 对应的点的坐标为，在第四象限； z 的实部为 1；z 的共复数为 故选：D 【点睛】本题考查复数代数形式的
2、乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 2.若集合，且则实数 b 的范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据即可得出，从而得出 【详解】解：， ， 故选：D 【点睛】考查描述法的定义，交集的定义及运算，子集的定义属于基础题 3.已知正方体，则异面直线与所成角为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由异面直线角的作法得：连接 BD，因为，故或其补角 为异面直线与所成 角， 由解三角形得：在中，设，则，即，得解 【详解】解：连接 BD， 因为， 故或其补角 为异面直线与所成角， 在中，设，则， 即， 故选：C 【点睛】本题考查了异面直线角的作法及解三
3、角形，属中档题 4.下列判断错误的是 A. “”是”的充分不必要条件 B. 若为真命题，则 p，q 均为假命题 C. 命题“，”的否定是“，“ D. 若随机变量 服从正态分布，则 【答案】A 【解析】 【分析】 A.利用充分条件和必要条件的定义进行判断.B.根据复合命题真假关系进行判断.C.根据全称命题的否定是特 称命题进行判断.D.根据正态分布的性质进行判断 【详解】解：当时，若“” ，则”不成立，即充分性不成立，故 A 错误， B.若为真命题，则为假命题，则 p，q 都是假命题，故 B 正确， C.命题“，”的否定是“，“正确，故 C 正确， D.若随机变量 服从正态分布， 则，故 D 正
4、确， 故错误的是 A， 故选：A 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及充分条件和必要条件的判断，复合命题真假关系，含有量词 的命题的否定以及正态分布，综合性较强，难度不大 5.已知，则的值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知求得，再由倍角公式求解的值 【详解】解：由， 得， 故选：C 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题 6.将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，到的函数是奇函数则下列结 论正确的是 A. t 的最小值是 ，的对称中心为是， B. t 的最小值为 ，的对称轴为， C. t 的最小值为，的单
5、调增区间为， D. t 的最小值为，的周期为 【答案】D 【解析】 【分析】 首先利用三角函数关系式的恒等变变换，把函数的图象进行平移变换，利用奇函数的性质，求出 t 的最小 值，进一步求出函数的最小正周期 【详解】解：函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到 ， 由于函数是奇函数 所以：， 解得：， 由于， 所以：当时，t 的最小值为， 且函数的最小正周期为 故选：D 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生 的运算能力和转化能力，属于基础题型 7.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 42，则判断框中的条件可以是 A. ？B. ？C.
6、 ？D. ？ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据程序框图进行模拟运算即可得到结论 【详解】解：第一次，不满足条件， 第二次，不满足条件， 第三次，不满足条件， 第四次，不满足条件， 第五次，不满足条件， 第六次，满足条件 输出， 即满足条件，不满足条件 则条件应该为？， 故选：D 【点睛】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件利用模拟运算法是解决本题的关键 8.设，是双曲线 C：的两个焦点，P 是 C 上一点，若，且 的最小内角的正弦值为 ，则 C 的离心率为 A. 2B. 3C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用双曲线的定义求出，然后利用最小内角的正弦值为 ，其余弦值为，结合
7、余弦 定理，求出双曲线的离心率 【详解】解：因为、是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上一点，且满足， 不妨设 P 是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知， 所以， 的最小内角的正弦值为 ，其余弦值为， 由余弦定理，可得， 即， ， 即， 所以 故选：C 【点睛】本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力，属于中档题 9.函数的图象大致为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性，排除选项 ，通过函数的导数，判断函数的单调性，可排除选项，从而可得结果. 【详解】函数是偶函数，排除选项 ； 当时，函数 ，可得， 当时，函数是减涵数，当时，函数是增函数，
8、排除项选项，故选 C. 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置 (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势 (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性 (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象 10.关于圆周率，数学发展史上出现过许多银有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发， 我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值：第一步，请 n 名学生，每个学生随机写下一个都小于 1 的 正实数对；第二步，统计两数能与 1 构成纯角三角形边的数对的个数 m；第三步，估计 的值若 ，则估计 的值 A. B. C. D. 【
9、答案】B 【解析】 【分析】 两个数能与 1 构成钝角三角形的数对满足，且，从而不等式组表 示图形的面积为由此能估计 的值 【详解】解：由题意，100 对都小于 1 的正实数对满足，其表示图形的面积为 1 两个数能与 1 构成钝角三角形的数对满足，且， 则不等式组表示图形的面积为 则：解得 故选：B 【点睛】本题考查几何概型，古典概型等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题 11.若两个非零向量 ， 满足，则向量 与的夹角是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据即可得出，从而得出，从而可求出 ，根据向量夹角的范围即可求出 与的夹角 【详解】解：； ； ；
10、； ，且； ； 又； 与的夹角是： 故选：D 【点睛】考查向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，以及向量夹角的范围 12.斜率为 且过抛物线 C：焦点的直线交抛物线 C 于 A、B 两点，若，则实数 为 A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】 抛物线 C：焦点，设，直线方程为：，与抛物线方程联立 解出坐标，再根据，利用向量坐标相等得出 【详解】解：抛物线 C：焦点，设， 直线方程为：，联立，化为：， 解得， ，解得 故选：C 【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、向量相等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大
11、题共 4 4 小题，共小题，共 20.020.0 分）分） 13.已知展开式中含项的系数为 ，则正实数_. 【答案】 【解析】 展开式的通项公式 的系数为 . 14.已知正方体的棱长为 1，则该正方体外接球的体积为 【答案】 【解析】 试题分析：正方体的外接球球心为正方体中心，球的直径为体对角线 考点：正方体外接球问题 15.的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且的面积为，若， 则_ 【答案】 【解析】 【分析】 由已知利用三角形的面积公式，正弦定理可求，又由，可得，根 据三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式可求的值，结合范围，即可 得解 【详解】解：的面积为， 由正弦定
12、理可得：， 可得：， ，可得：， ， ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函 数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 16.若直线是曲线的切线，则 a 的值是_ 【答案】 【解析】 【分析】 设切点的横坐标为，求出导函数，利用直线与曲线相切，转化求解切点横坐标以及 a 的 值即可 【详解】解：设切点的横坐标为， 则有：， 令， 则在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以； 故答案为： 【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的切线方程的求法考查转化思想以及计算能力 三、解答题（本大题共三、解答题（
13、本大题共 7 7 小题，共小题，共 80.080.0 分）分） 17.已知数列的前 n 项和为，且 求数列的通项公式； 设，求数列的前 n 项和 【答案】 （1）；（2）. 【解析】 【分析】 首先求出数列的通项公式.利用的通项，进一步求出数列的通项公式，进一步求出数列的和. 【详解】解：数列的前 n 项和为，且 当时， 当时，首项符合通项 ， 故： 由于， 所以：， 则：， 所以：数列是以首项为 ，公比为 的等比数列 故： 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前 n 项和公式的应用，主要考查学 生的运算能力和转化能力，属于基础题型 18.从某校高三年中随机抽取 10
14、0 名学生，对其眼视力情况进行统计 两眼视力不同，取较低者统计 ，得到 如图所示的频率分布直方图，已知从这 100 人中随机抽取 1 人，其视力在的概率为 求 a，b 的值； 若高校 A 专业的报考资格为：任何一眼裸眼视力不低于，高校 B 专业的报考资格为：任何一眼裸眼 视力不低于，已知在中有 的学生裸眼视力不低于现用分层抽样的方法从和 中抽取 4 名同学，4 人中有资格 仅考虑视力 考 B 专业的人数为随机变量 ，求 的分布列及数学期 望 【答案】 （1），；（2）详见解析. 【解析】 【分析】 由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出 a，b 在中，共有 15 人，其中 5 人不低于，在这
15、 15 人中，抽取 3 人，在中共有 5 人，抽 取 1 人，随机变量 的可能取值为 1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和 【详解】解：由频率分布直方图的性质得： ， 解得， 在中，共有 15 人，其中 5 人不低于，在这 15 人中，抽取 3 人， 在中共有 5 人，抽取 1 人， 随机变量 的可能取值为 1，2，3，4， ， ， ， ， 的分布列为： 1 2 3 4 P 【点睛】本题考查频率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、 古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19.已知椭圆 C：的离心率为，分别为椭圆 C
16、的左、右焦点，点满 足 求椭圆 C 的方程； 直线 1 经过椭圆 C 的右焦点与椭圆相交于 M，N 两点，设 O 为坐标原点，直线 OM，直线 l，直线 ON 的斜分别为，k，且，k，成等比数列，求的值 【答案】 （1）；（2） 【解析】 【分析】 依题意，由，即，根据离心率求出 a，即可求出 b，可得椭圆方程 设直线 l 的方程为，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，转化求 解即可 【详解】解：依题意， ，即 ， ， ， 椭圆 C 的方程为， 设直线 l 的方程为， 由，得， 则， ，k，成等比数列， ， 则， 即， 解得 故 【点睛】本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查了椭圆的简单性质，直线的斜率，等比数列的性 质，属于中档题 20.已知在四棱中，
