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1、八年级数学下二次根式的化简训练及解析二次根式的化简求值，是中考以及各级各类竞赛中的常见题目，其常用的方法有约分法，裂项法，取倒法等等【例1】 化简下列二次根式 1. 【解析】 说明 和 互为倒数，故 原式2. 【解析】 3. 【解析】 【点评】 此题是复合二次根式的化简，在初三的锐角三角函数中会涉及，老师还可练习 ，此类题型的步骤为：将二次根式化简为 的形式 将a拆成x+y，b拆成xy的形式 【例2】 1. 已知 ， ，求 和 【解析】 ；2.已知 ，求 的值【解析】 ， ， ，3.已知 且 ，求 的值【解析】 原式=4.其中 ， ，求 的值【解析】 原式 例2精讲 ： 、 或 、 的应用共轭
2、根式：形如 ， 的两个根式互称为共轭根式如果 和 互为共轭根式，那么 和 都是有理式（其中 为 有理数）通常情况下，将含 有一个二次根式的代数式有理化的方法是乘以它的共轭根式解决根式问题，应当视情况将分母或分子进行有理化推广： 、 虽然不是共轭二次根式，但是 同样是有 理式，因此也可以用来帮助分母或分子有理化探究1、分母有理化【变式1】计算： 【解析】原式 ；探究2、分子有理化【变式2】已知 ， ， ， ，比较 ， ， 的大小【解析】分子有理化可直接得到答案，易得 探究3、利用共轭根式 和 来化简求值 【变式3】已知 ， ，求下列各式的值. ； .【解析】 ， ， ， . . .探究4、构造共
3、轭根式进行配对【变式4】已知 ，则 的值是 .【解析】设 ， ；则 ， ，原式 .探究 5、共轭根式求值【变式5】已知 则 的值为_【解析】注意到 ，所以， 【例3】 1.已知 ，求 的值【解析】 直接把 代入代数式求值显然计算很繁琐，可适当变形 2.已知 ，求 的值【解析】 ， ， ， ，则二次根式的综合应用包括比较大小，实际应用问题等等.【例4】 比较下列各式的大小(填“”“”或“=”) _ _【解析】 （平方）两个正数，其平方大的大， ， ，则 （被开方数） ， ， ，故 ，即 （分母有理化） ， ， ， 法一（分子有理化） ， 法二（倒数法） ， ，【例5】 已知 、 均为有理数，并满
4、足等式 ，求 、 的值.【解析】由已知条件可得 ，所以 ，即 ， 【例6】 若 ， ， ，求证： 【解析】 待证不等式左边的根式，让人联想起直角三角形中斜边的表达式；而其右边为 的 倍，又与正方形的对角线有关我们借助几何图形给予证明作出以 为边长的正方形 ，分别在两边上截取线段 、 、 ，如图，则 ， ， ，而 ，显然，由 ，可得原不等 式成立训练1. 已知 ， ，求 的值【解析】 ， 训练2. 已知 ，求 的值【解析】 直接代入肯定麻烦，先对已知条件进行变形， ， ，即 下面采用降幂（次）：训练3. 已知 ，求 及 的值【解析】 ， 又训练4. 设三所学校 、 、 分别位于一个等边三角形的三
5、个顶点处，现是网络时代，要在三个学校之间铺设通讯电缆，小张同学设计了三种连接方案，如图所示，方案甲： ；方案乙： （ 为 中点）；方案丙： （ 为三角形三条高的交点），请你帮助计算一下哪种方案线路最短？【解析】 设 ，则 ， ，在 中， ， 方案甲： ；方案乙： ；方案丙：所以， 题型一 二次根式的化简与求值 巩固练习【练习1】 已知 ，求 的值 （四中期中）【解析】 当 时，原式【练习2】 若 求 的值【解析】 由 得 即 两边平方，得原式= 题型二 二次根式的综合应用 巩固练习【练习3】 已知n是一个正整数， 是整数，则n的最小值是（ ） A3 B5 C15 D25【解析】 C【练习4】 某电力公司为了改善农村用电电费过高的问题，准备在各地农村进行电网改造，富康乡有四个村庄 ， ， ， 正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，有四种架设方案，如图中的实线部分，请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线（以下数据可供参考： ， ， ）【解析】 方案4最省钱【练习5】 若 表示不超过 的最大整数（如 等），则 _ _ 【解析】 2000测试1. 已知 ，求 ； . （宣武期末）【解析】 由题意得 原式 原式测试2. 先化简，再求值： ，其中 ， 【解析】 当 ， 时，原式测试3. 试比较 与 的大小【解析】 ， 显然，
