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1、八年级数学下勾股定理的训练及解析勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大。它不仅在数学中，而且在其它自然科学中也被广泛地应用。勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 ，斜边长为 ，那么 直角三角形中常用数： 整数边： ； ； ； ； ； ；如果 是一组勾股数，那么 也是一组勾股数（k为正数）；含特殊角： 和 的三角形三边之比分别为 和 .【引例】 一旗杆离地面 处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部 处，旗杆折断之前有多高？【解析】 如图，设原旗杆底端点为 ，顶端点
2、 ，从 点处折断，则由题意可知图中 ， ， ，在 中， ， ， ，旗杆折断之前高16m【例1】 1. 图1和图2中的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为 ，该定理的结论其数学表达式是 其中图1是中国数学史上有名的 （数学家的名字）弦图简单写出证明过程（浙江湖州、新疆中考）【解析】 勾股 定理， （直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）赵爽（中国数学家，主要贡献是深入研究了周髀算经，涉及了勾股定理的理论和证明）证明：大正方形面积=四个全等直角三角形面积+中间小正方形面积图1：图2： ，即 【点评】
3、勾股定理的证明方法很多，比如可用方格来验证勾股定理等等2. 如图1是一个重要公式的几何解释请你写出这个公式； 如图2， ， ，且 三点共线.试证 明 ； 伽菲尔德（Garfield，1881年任美国第20届总统）利用1中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日，发表在新英格兰教育日志上），现请你尝试该证明过程（丰台期末）【解析】 这个公式为 ， 由于 共线，所以 梯形 的面积为； 另一方面，梯形 可分成三个直角三角形，其面积又可以表示成 ，即3. 勾股证明的方法成百上千种，其中几何原本中的证法非常经典，是在一个我们非常熟悉的几何图形中实现的（如图所示），同学们，如果直角三角形 的三边长为
4、 （ 为斜边），试利用此图证明 . 【解析】 如右图可知： ，同理 ，【探究对象】勾股定理的分类证明【探究目的】勾股定理是几何学中的明珠，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法，这是任何定理无法比拟的。下面仅用若干种既简单又著名的证明方法来进行说明以拓展学生思路.【探究一】以刘徽的“青朱出入图”为代表的“无字证明”“无字证明”不 需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形或移动图形就可以得证。 刘徽的证明约公元263年，三国时代魏国的数学家刘徽为
5、古籍九章算术作注释时，用“出入相补法”证明了勾股定理。如上图，小正方形与较大正方形的面积和与最大正方形的面积之间的等量关系，不依靠运算，单靠移动几块图形就直观地证出了勾股定理。 拼图证明上面的两个图形是在印度、阿拉伯和欧洲出现的一种拼图，通过图形的拼凑，可以简洁轻易地证明勾股定理. 意大利著名画家达?芬奇的证法在一张长方形的纸板上画两个边长分别为a 、b的正方形，连接BC、FE，如图1.沿ABCDEF剪下，得两个大小相同的纸板、，如图2.将纸板翻转后与拼在一起，可以得到其他图形，如图3.通过剪接翻转拼凑，两个长方形纸板（图1和图2 ）里面的六边形是相等的，从而可以直观地得到，图1和图3中的四个
6、三角形是全等的.所以，正方形 的面积加上正方形 的面积等于正方形 的面积，即 .【探究二】以欧几里得的证明方法为代表的证明方法在欧几里得的几何原本一书中给出勾股定理的以下证明. 设ABC为一直角三角形，其中C为直角.从C点划一直线至对边，使其垂直于对边.延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等.在定理的证明中，我们需要如下四个辅助定理：如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等.（SAS定理）三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半.任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积.任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积 做三个边长分别为 的正方形，把它
7、们拼成如图所示形状，使 三点在一条直线上，连结BF，CD，AK，CE，过C作CLDE，交AB于点M，交DE于点L 的面积等于 的面积等于矩形ADLM的面积的一半矩形ADLM的面积等于 同理可证，矩形MLEB的面积等于正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 ，即 .【探究三】以赵爽的“弦图”为代表的数形结合的证法这一类证法，运用几何图形的截、割、拼、补，来证明代数式之间的恒等关系. 体现了以形证数、形数统一、代数和几何的紧密结合。讲义上介绍了赵爽弦图（外弦图）、内弦图及总统证法。【探究四】其他证明方法 梅文鼎证明做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、
8、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. D、E、F在一条直线上, 且RtGEF RtEBD, EG F = BED， EGF + GEF = 90， BED + GEF = 90， BEG =180?90?= 90?.又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG是一个边长为c的正方形. ABC + CBE = 90?. RtABC RtEBD, ABC = EBD. EBD + CBE = 90?.即 CBD= 90?.又 BDE = 90?，BCP = 90?，BC = BD = a. BDPC是一个边长
9、为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则, . 项明达证明做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QPBC，交AC于点P.过点B作BMPQ，垂足为M；再过点F作FNPQ，垂足为N. BCA = 90?，QPBC， MPC = 90?， BMPQ， BMP = 90?， BCPM是一个矩形，即MBC = 90?. QBM + MBA = QBA = 90?，ABC + MBA = MBC = 90?， QBM = AB
10、C，又 BMP = 90?，BCA = 90?，BQ = BA = c，RtBMQ RtBCA.同理可证RtQNF RtAEF.从而将问题转化为的梅文鼎证明.【例2】 如下左图，是一段楼梯示意图，楼梯 长 米，高 为 米，若在此楼梯铺地毯，则地毯的长度至少需要_米 下右图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的若 ， ，将四个直角三角形中边长为 的直角边分别向 外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 如果直角三角形的三边长为10、6、x，则最短边上的高为 已知 中， ， ，高 ，则 的长为_.【解析】 分类讨论：10为斜边或x为斜边，高为
11、8或10. 分类讨论，如图 或4.如果三角形的三边长 满足 ，那么这个三角形是直角三角形勾股定理的逆定理通常用来判断直角三角形或证明线段的垂直关系对于勾股定理逆定理的证明，我们采用构造全等三角形的证明方法来完成已知：如图，已知 的三边 满足 ，求证： 是直角三角形证明：以 为两条直角边， 为直角构造 ，则由勾股定理得 ，由已知可知 ， ， ， 是直角三角形【引例】 在 中， ， ，中线 求证： 是等腰三角形【解析】 证明：如图，在 中， 是直角三角形， ， 也是直角三角形， ， ， 是等腰三角形【例3】 下列线段不能组成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 下列各组式子所表示的线段中，
12、一定能构成直角三角形的有_ ， ， （ ）； ， ， （ 是正整数）； ， ， ； ， ， （ ） 如下图，在由单位正方形组成的网格图中标有 ， ， ， 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A ， ， B ， ，C ， ， D ， ，【解析】 D ， ， ， ，选B【例4】 1. 已知a、b、c为ABC的三边，且满足a2c2b2c2=a4b4，试判断ABC的形状；【解析】 a2c2b2c2=a4b4c2(a2b2)=(a2+b2)(a2b2)，c2=a2+b2，或ABC是直角三角形或等腰三角形.2. 如图，RtABC中，C=90，AD平分CAB，DEAB于E，若AC=6，BC=8
13、，CD=3 求DE的长； 求ADB的面积【解析】 AD平分CAB，DEAB，C=90，CD=DE，CD=3，DE=3；在RtABC中，由勾股定理得：AB= ，ADB的面积为SADB= AB?DE= 103=15在几何题中，通常会综合运用勾股定理与逆定理解决三角形的问题，如证明两条直线互相垂直、图形折叠、在数轴上寻找无理数、解斜三角形等等同时，在综合题中也常常利用勾股定理求线段长【引例】 如图，铁路上 、 两点相距 ， 、 为两村庄，若 ， ， 于 ， 于 ，现要在 上建一个中转站 ，使得 、 两村到 站的距离相等求 应建在距 多远处？ 【解析】 设 的长度为 ，由勾股定理得：，解得 【例5】 如图，OP=1，过P
