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1、专题三十八 相似、位似及其应用瞄准中考一、选择题1. （2018广东省，7，3）在ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则ADE与ABC的面积之比为A B C D【答案】C【解析】相似三角形面积比等于相似比的平方，由中位线性质知相似比为1:2，所以ADE与ABC的面积之比为2. （2018黑龙江省龙东地区，20，5分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，ADC60，ABBC1则下列结论：CAD30；BD；S平行四边形ABCDABAC；OEAD；SAPO，正确的个数是（ ）A2B3C4D5【答案】D【思路分析】由于条件
2、和结论较多，需要逐条分析、综合思考、分层落实由已知条件容易得到的结论首先是：BAD120，BAE60，ABE60，ABDC1，BCAD2，OAOC，OBOD；然后得到的结论是：ABE是等边三角形，ABAEBEEC，OE是ABC的中位线，OEAB，OEAB；进一步得到的结论是：OPBPOBBD，EACECA30，BAC90分析到这个程度后，问题自然就获解了对于，BD2BO，BO，AOAC，AC，BD，故正确；对于，S平行四边形ABCDABAC刚好符合平行四边形的面积公式，故正确；对于，OEAB，ABAD，OEAD，故正确；对于，由得S平行四边形ABCDABACBEEC，AOOC，OE是ABC的中
3、位线，OEAB，OEAB，OPBPOBBD，SAPOSABDS平行四边形ABCD，故正确3. （2018四川乐山，4，3） 如图2，DEFGBC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（ ）. A.EG=4GC B. EG=3GC C. EG=GC D. EG=2GC图2【答案】B【思路分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是利用平行线分线段成比例定理得到正确的比例式.【解析】 解：DEFGBC，又DB=4FB，故选择答案B.根据平行线分线段成比例定理，可以得出多组成比例线段，解题时要认准对应关系，找出已知条件最多的一组进行解答.学科！网4. (2018甘肃省兰州市,7,4分) 如图
4、,边长为4的等边ABC中,DE分别是ABAC的中点,则ADE的面积是( )A. B. C. D.(第7题)CAEDB【答案】A【解析】边长为4的等边三角形的面积为42=4,因为D,E分别为AB,AC的中点,所以ADEABC,所以SADE:SABC=1:4,所以SADE=4=,故选A5. （2018黑龙江绥化，9，3分）两个相似三角形的最短边分别为5cm和3cm，他们的周长之差为12cm，那么大三角形的周长为（ ）A14cm B16cm C.18cm D30cm【答案】D.【解析】解：两个相似三角形的最短边分别为5cm和3cm，两个相似三角形的相似比为.设较小的三角形的周长为cm，则较大的三角形
5、的周长为(+12)cm，根据相似三角形的性质可得：，解得x=18，故大三角形的周长为18+12=30cm.故选D.考点（知识点）讲解考点一、比例线段 （3分） 1、比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项。学科！网在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项，线段的d叫做a，b，c的第
6、四比例项。如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项。2、比例的性质（1）基本性质a：b=c：dad=bca：b=b：c（2）更比性质（交换比例的内项或外项） （交换内项） （交换外项） （同时交换内项和外项）（3）反比性质（交换比的前项、后项）：（4）合比性质：（5）等比性质：3、黄金分割把线段AB分成两条线段AC，BC（ACBC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB考点二、平行线分线段成比例定理 （35分）三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。推论：（1）
7、平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。（2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。考点三、相似三角形 （38分） 1、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“”来表示，读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。2、相似三角形的基本定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。用数学语言表述如下：DEBC，AD
8、EABC相似三角形的等价关系：（1）反身性：对于任一ABC，都有ABCABC；（2）对称性：若ABCABC，则ABCABC（3）传递性：若ABCABC，并且ABCABC，则ABCABC。3、三角形相似的判定（1）三角形相似的判定方法定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可
9、简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似（2）直角三角形相似的判定方法以上各种判定方法均适用定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。4、相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比（3）相似三角形周长的比等于相似比（4）相似三角形面积的比等于相
10、似比的平方。5、相似多边形（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）（2）相似多边形的性质相似多边形的对应角相等，对应边成比例相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比相似多边形面积的比等于相似比的平方6、位似图形如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。由一个图形
11、得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。位似图形：它们具有相似图形的性质外还有图形的位置关系（每组对应点所在的直线都经过同一个点位似中心）；对应点到位似中心的距离比就是位似比，对应线段的比等于位似比，位似比也有顺序；已知图形的位似图形有两个，在位似中心的两侧各有一个。位似中心，位似比是它的两要素。38.相似图形：形状相同，大小不一定相同（放大或缩小）。（1）判定平行；两角相等；两边对应成比例，夹角相等；三边对应成比例。（2）对应线段比等于相似比；对应高之比等于相似比；对应周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方。（3）比例的基本性质：若 , 则ad=bc；（d
12、称为第四比例项）比例中项：若 ， 则 。（b称为a、c的比例中项；c称为第三比例项）(4)黄金分割：线段AB被点C黄金分割（ACBC），点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比：（5）相似基本图形：平行，不平行；变换对应关系作出正确的分类。典例1（2018浙江嘉兴，12，4） 如图.直线l1l2l3直线AC交l1，l2，l3于点A、B、C；直线DF交l1，l2，l3于点D、E、F，已知， 【答案】2【解析】，,l1l2l3，典例2（2018贵州省毕节市，11，3分）在平面直角坐标系中,OAB各顶点的坐标分别为:O(0，0)，A(1，2)，B(0，3)，以O为位似中心，与OAB位似
13、，若B点的对应点的坐标为(0，6)，则A点的对应点坐标为（ ） A(2， 4) B(4， 2) C(1，4) D(1， 4)【答案】A【解题过程】如下图，点的坐标为(2， 4)，故选A课后练习8. （2018贵州省毕节市，14，3分）如图，在矩形ABCD中,AD=3，M是CD上的一点，将ADM沿直线AM对折得到ANM，若AN平分MAB,则折痕AM的长为( )来源:学|科|网A3 B C D6来源:学科网ZXXK【答案】B【思路分析】由题意可得，DAMMANNAB，可得NAB30，再用特殊角的三角函数值可求出折痕AM的长【解题过程】解：由题意可得，DAMMANNAB，四边形是矩形，DAB90，又DAMMANNAB，DAMMANNAB30，则在则在RtDEF中，BC60，sinMAN，即，解得AM，故选B9.（2018贵州省毕节市，12，3分）如图,在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE:EC=3:2，连接AE交BD于点F，则DEF与BAF的面积之比为( ) A2:5 B3:5 C9:25 D4:25【答案】C10. （2018吉林省长春市，6，3）孙子算经是中国古代重要的
