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1、1. (2012 四川省资阳市) 已知、是正实数，那么，是恒成立的（1）(3分)由恒成立，说明恒成立；（2）(3分)填空：已知、是正实数，由恒成立，猜测： 也恒成立；（3）(2分)如图，已知AB是直径，点P是弧上异于点A和点B的一点，PCAB，垂足为C，AC，C，由此图说明恒成立答案：1）由得，1分于是 2分3分（2）6分（3）连结OP，AB是直径，APB=90，又PCAB，RtAPCRtPBC，7分又，由垂线段最短，得，8分20121028211453281665 3 开放探索 猜想、探究题 基础知识 2012-10-282. (2012 广东省广州市) 如图，在平行四边形中，为中点，于点，
2、 设（1）当时，求CE的长；（2）当 是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 连接，当取最大值时，求的值. 答案：解：（1）在中，当时，所以由勾股定理可得：；（2分）（2）存在如图，取的中点，连接交于点，连接，平行四边形中，分别为的中点，；，四边形、四边形均为平行四边形又，四边形为菱形，为的中点，为的垂直平分线，又，所以；如图，由可知，设，则，；在中，在中， 故当时，有最大值；又，20120803103044545760 3 开放探索 猜想、探究题 解决问题 2012-08-033. (2012 黑龙江省大庆市) 按照如图所示的程序计算： 若输入，则= 答案：820120
3、724150628093971 3 开放探索 填空题 基础知识 2012-07-244. (2012 辽宁省沈阳市) 已知，如图，点为射线，上的动点（点，不与点重合），且，在的内部、的外部有一点，且，（1）求的长；（2）求证：点在的平分线上（3）如图，点分别是四边形的边，的中点，连接，当时，请直接写出四边形的周长的值；若四边形的周长用表示，请直接写出的取值范围答案：解：（1）过点作于点在中，（2）过点分别作于点，于点 在四边形中， 又 点在的平分线上（3） 20120723155335515160 3 开放探索 复合题 基础知识 2012-07-235. (2012 湖南省长沙市) 如图，半径
4、分别为的两圆相交于两点，且点，两圆同时与两坐标轴相切，与轴，轴分别切于点，点；与轴，轴分别切于点，点.（1）求两圆的圆心所在直线的解析式；（2）求两圆的圆心之间的距离；（3）令四边形的面积=， 四边形的面积=.试探究：是否存在一条经过两点、开口向下且在轴上截得的线段长为的抛物线？若存在，请求出抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.答案：解：（1）方法一：由于两圆同时与两坐标轴相切，所以两圆圆心到两坐标轴的距离相等，又两圆圆心均在第一象限，故两圆圆心均在第一、三象限的角平分线上，从而所求的直线的解析式为：方法二：设两圆心所在的直线的解析式是：由题意可知： 故所求的直线方程为：（2）方法一：，两圆
5、的半径分别为则由题意结合勾股定理可得： 解之得：故两圆圆心距： 方法二：（构造一元二次方程，根据韦达定理求解）（3）假设存在这样的抛物线，不妨设其方程为：因为点与点关于直线：对称，根据三角形全等的知识可得点由对称性结合勾股定理可以求出：在四边形中，由于两对角线互相垂直故所以 又设抛物线与轴的两个交点的坐标为：则从而由（1），（2）可得 又代入第（3）可得整理可得：解得： 这与题设相矛盾.故这样的抛物线不存在.20120720144512750395 3 开放探索 复合题 基础知识 2012-07-206. (2012 吉林省) 在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下两个情境
6、：情境：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回家里找到了作业本再去学校；情境：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进.（1）情境所对应的函数图象分别为_、_（填写序号）；（2）请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境答案：解：（1），. （2）例如：小芳从家出发去书店看了一会书又返回家中.小芳从家去超市购物后返回家中.评分说明：（1）每填对一个空得2分.（2）答案不唯一，只要符合图象即可得分（所写情境需满足三条：从家出发，过程有停留，终点回到家.）20120716104322109666 3 开放探索 应用题 基础知识 2012-07-167. (2012 吉林省)
7、如图，是的直径，为的切线，点在边上，则的度数可能为 （写出一个符合条件的度数即可）答案：大于或等于0度并且小于或等于50度的任意一个度数皆可20120716104321578026 3 开放探索 填空题 基础知识 2012-07-168. (2012 黑龙江省齐齐哈尔市) 如图1，在正方形中，点分别在上，若，易证（1）如图2，在梯形中，点分别在上，若，试探究线段、有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明（2）如图3，在四边形中，点分别在、的延长线上，若，试探究线段、又有怎样的数量关系？请直接写出猜想，不需证明答案：解：（1）图2，猜想：证明：延长至点，使，连接四边形是等腰梯形又又 即又（2）图
8、3 猜想：20120713104602453548 3 开放探索 应用题 基础知识 2012-07-139. (2012 山东省德州市) 如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片，点为正方形边上的一点（不与点、点重合）将正方形纸片折叠，使点落在处，点落在处，交于，折痕为，连接、（1）求证：；（2）当点在边上移动时，的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设为，四边形的面积为，求出与的函数关系式，试问是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由ABCDEFGHPABCDEFGHP（备用图）答案：解:（1），又，即又， ABCDEFGHP（2）的周长不变，为定值8ABCDEFGHP
9、Q 证明：过作，垂足为由（1）知，又， 又，又， 的周长为：. ）（3）过作，垂足为，则.又为折痕，ABCDEFGHPM.，又， 在中，解得， 又四边形与四边形全等，即： 配方得，当时，有最小值620120704153321593372 3 开放探索 填空题 基础知识 2012-07-0410. (2012 浙江省衢州市) 课本中，把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸，请思考解决下列问题：（1）将一张标准纸对开，如图1所示，所得的矩形纸片是标准纸.请给予证明.ACDB图1AEFB（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片进行如下操作：第一步：沿过点的直线折叠，使点落在边上点处，折痕为（如图2
10、甲）；第二步：沿过点的直线折叠，使点落在边上点处，折痕为（如图2乙），此时点恰好落在边上的点处；第三步：沿直线折叠（如图2丙），此时点恰好与点重合.NDAECBMGNDAECBMGFDAECB丙乙甲图2请你探究：矩形纸片是否是一张标准？请说明理由.(3)不难发现：将一张标准纸按如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸，现有一张标准纸，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索并直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长.图3ACDB第一次对开第二次对开第三次对开答案：解：（1）是标准纸.理由如下：矩形是标准纸,由对开的含义知：. 矩形纸片也是标准纸. （2）是标准纸.理由如下：设由图形折叠可知： 由图形折叠可知：是等腰直角三角形在中， 矩形纸片是一张标准纸(3)对开次数第一次第二次第三次第四次第五次第六次周长第5次对开后所得的标准纸的周长为： 第2012次对开后所得的标准纸的周长： 20120704103225906678 3 开放探索 猜想、探究题 数学思考 2012-07-04
