《3开放探索(2015年)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3开放探索(2015年)（54页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1. (2015 湖北省咸宁市) 定义：数学活动课上，乐老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形理解：（1）如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB、BC为边的两个对等四边形ABCD；（2）如图2，在圆内接四边形ABCD中，AB是O的直径，AC=BD求证：四边形ABCD是对等四边形；（3）如图3，在RtPBC中，PCB=90，BC=11，tanPBC=，点A在BP边上，且AB=13用圆规在PC上找到符合条件的点D，使四边形ABCD为对等四边形，并求出CD的长答案：解：（1）如图1所示（画2个即可）（2）如图2，连接A
2、C，BD，AB是O的直径，ADB=ACB=90，在RtADB和RtACB中，RtADBRtACB，AD=BC，又AB是O的直径，ABCD，四边形ABCD是对等四边形（3）如图3，点D的位置如图所示：若CD=AB，此时点D在D1的位置，CD1=AB=13；若AD=BC=11，此时点D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11，过点A分别作AEBC，AFPC，垂足为E，F，设BE=x，tanPBC=，AE=，在RtABE中，AE2+BE2=AB2，即，解得：x1=5，x25（舍去），BE=5，AE=12，CE=BCBE=6，由四边形AECF为矩形，可得AF=CE=6，CF=AE=12，在RtA
3、FD2中，综上所述，CD的长度为13、12或12+2. (2015 湖北省荆州市) 如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F（1）证明：PC=PE；（2）求CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当ABC=120时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由答案：解：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，ABP=CBP=45，在ABP和CBP中，ABPCBP（SAS），PA=PC，PA=PE，PC=PE；（2）由（1）知，ABPCBP，BAP=BCP，DAP=DCP，PA=PC
4、，DAP=E，DCP=E，CFP=EFD（对顶角相等），180PFCPCF=180DFEE，即CPF=EDF=90；（3）在正方形ABCD中，AB=BC，ABP=CBP=45，在ABP和CBP中，ABPCBP（SAS），PA=PC，BAP=BCP，PA=PE，PC=PE，DAP=DCP，PA=PC，DAP=E，DCP=ECFP=EFD（对顶角相等），180PFCPCF=180DFEE，即CPF=EDF=180ADC=180120=60，EPC是等边三角形，PC=CE，AP=CE；3. (2015 辽宁省盘锦市) .如图1，ABC和AED都是等腰直角三角形，BAC=EAD=90，点B在线段AE上
5、，点C在线段AD上（1）请直接写出线段BE与线段CD的关系：；（2）如图2，将图1中的ABC绕点A顺时针旋转角（0360），（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；当AC=ED时，探究在ABC旋转的过程中，是否存在这样的角，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角的度数；若不存在，请说明理由答案：分析：（1）根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，AE=AD，再根据等量关系可得线段BE与线段CD的关系；（2）根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，AE=AD，根据旋转的性质可得BAE=CAD，根据SAS可证BAECAD，根据全等三角形
6、的性质即可求解；根据平行四边形的性质可得ABC=ADC=45，再根据等腰直角三角形的性质即可求解解答：解：（1）ABC和AED都是等腰直角三角形，BAC=EAD=90，AB=AC，AE=AD，AEAB=ADAC，BE=CD；（2）ABC和AED都是等腰直角三角形，BAC=EAD=90，AB=AC，AE=AD，由旋转的性质可得BAE=CAD，在BAE与CAD中，BAECAD（SAS），BE=CD；以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，ABC=ADC=45，AC=ED，CAD=45，角的度数是45点评：考查了几何变换综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的性质，等量代换，旋转的性质，全等
7、三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，综合性较强，难度中等4. (2015 辽宁省锦州市) 如图，QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，QPN=，将QPN绕点P旋转，旋转过程中QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）（1）如图，当=90时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是；（2）如图，将图中的正方形ABCD改为ADC=120的菱形，其他条件不变，当=60时，（1）中的结论变为DE+DF=AD，请给出证明；（3）在（2）的条件下，若旋转过程中QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD
8、之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明答案：分析： （1）利用正方形的性质得出角与线段的关系，易证得APEDPF，可得出AE=DF，即可得出结论DE+DF=AD，（2）取AD的中点M，连接PM，利用菱形的性质，可得出MDP是等边三角形，易证MPEFPD，得出ME=DF，由DE+ME=AD，即可得出DE+DF=AD，（3）当点E落在AD上时，DE+DF=AD，当点E落在AD的延长线上时，DE+DF逐渐增大，当点F与点C重合时DE+DF最大，即ADDE+DFAD解答： 解：（1）正方形ABCD的对角线AC，BD交于点P，PA=PD，PAE=PDF=45，APE+EPD=DPF+EPD=90
9、，APE=DPF，在APE和DPF中APEDPF（ASA），AE=DF，DE+DF=AD，（2）如图，取AD的中点M，连接PM，四边形ABCD为ADC=120的菱形，BD=AD，DAP=30，ADP=CDP=60，MDP是等边三角形，PM=PD，PME=PDF=60，PAM=30，MPD=60，QPN=60，MPE=FPD，在MPE和FPD中，MPEFPD（ASA）ME=DF，DE+DF=AD，（3）如图，在整个运动变化过程中，当点E落在AD上时，DE+DF=AD，当点E落在AD的延长线上时，DE+DF逐渐增大，当点F与点C重合时DE+DF最大，即ADDE+DFAD点评： 本题主要考查了四边形
10、的综合题，涉及全等三角形，正方形及菱形的性质，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与线段之间的等量关系5. (2015 辽宁省葫芦岛市) 在ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG（1）如图，当BAC=DCF=90时，直接写出AG与DG的位置和数量关系；（2）如图，当BAC=DCF=60时，试探究AG与DG的位置和数量关系，（3）当BAC=DCF=时，直接写出AG与DG的数量关系答案：分析：（1）延长DG与BC交于H，连接AH、AD，通过证得BGHEG
11、D求得BH=ED，HG=DG，得出BH=DC，然后证得ABHACD，得出BAH=CAD，AH=AD，进而求得HAD=90，即可求得AGGD，AG=GD； （2）延长DG与BC交于H，连接AH、AD，通过证得BGHEGD求得BH=ED，HG=DG，得出BH=DC，然后证得ABHACD，得出BAH=CAD，AH=AD，进而求得HAD是等边三角形，即可证得AGGD，AG=DG；（3）延长DG与BC交于H，连接AH、AD，通过证得BGHEGD求得BH=ED，HG=DG，得出BH=DC，然后证得ABHACD，得出BAH=CAD，AH=AD，进而求得HAD是等腰三角形，即可证得DG=AGtan解答：（1）
12、AGDG，AG=DG，证明：延长DG与BC交于H，连接AH、AD，四边形DCEF是正方形，DE=DC，DECF，GBH=GED，GHB=GDE，G是BC的中点，BG=EG，在BGH和EGD中BGHEGD（AAS），BH=ED，HG=DG，BH=DC，AB=AC，BAC=90，ABC=ACB=45，DCF=90，DCB=90，ACD=45，ABH=ACD=45，在ABH和ACD中ABHACD（SAS），BAH=CAD，AH=AD，BAH+HAC=90，CAD+HAC=90，即HAD=90，AGGD，AG=GD；（2）AGGD，AG=DG；证明：延长DG与BC交于H，连接AH、AD，四边形DCEF
13、是正方形，DE=DC，DECF，GBH=GED，GHB=GDE，G是BC的中点，BG=EG，在BGH和EGD中BGHEGD（AAS），BH=ED，HG=DG，BH=DC，AB=AC，BAC=DCF=60，ABC=60，ACD=60，ABC=ACD=60，在ABH和ACD中ABHACD（SAS），BAH=CAD，AH=AD，BAC=HAD=60；AGHD，HAG=DAG=30，tanDAG=tan30=，AG=DG（3）DG=AGtan；证明：延长DG与BC交于H，连接AH、AD，四边形DCEF是正方形，DE=DC，DECF，GBH=GED，GHB=GDE，G是BC的中点，BG=EG，在BGH和EGD中BGHEGD（AAS），BH=ED，HG=DG，BH=DC，AB=AC，BAC=DCF=，ABC=90
