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1、1. (2016 广西桂林市) 】如图1，已知开口向下的抛物线y1=ax22ax+1过点A（m，1），与y轴交于点C，顶点为B，将抛物线y1绕点C旋转180后得到抛物线y2，点A，B的对应点分别为点D，E（1）直接写出点A，C，D的坐标；（2）当四边形ABCD是矩形时，求a的值及抛物线y2的解析式；（3）在（2）的条件下，连接DC，线段DC上的动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，在点P运动的过程中，过点P作直线lx轴，将矩形ABDE沿直线l折叠，设矩形折叠后相互重合部分面积为S平方单位，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系 答案：】考点二次函数综合题分析（1）直接将点
2、A的坐标代入y1=ax22ax+1得出m的值，因为由图象可知点A在第一象限，所以m0，则m=2，写出A，C的坐标，点D与点A关于点C对称，由此写出点D的坐标；（2）根据顶点坐标公式得出抛物线y1的顶点B的坐标，再由矩形对角线相等且平分得：BC=CD，在直角BMC中，由勾股定理列方程求出a的值得出抛物线y1的解析式，由旋转的性质得出抛物线y2的解析式；（3）分两种情况讨论：当0t1时，S=SGHD=SPDH+SPDG，作辅助线构建直角三角形，求出PG和PH，利用面积公式计算；当1t2时，S=S直角三角形+S矩形S不重合，这里不重合的图形就是GEF，利用30角和60角的直角三角形的性质进行计算得出
3、结论解答解：（1）由题意得：将A（m，1）代入y1=ax22ax+1得：am22am+1=1，解得：m1=2，m2=0（舍），A（2，1）、C（0，1）、D（2，1）；（2）如图1，由（1）知：B（1，1a），过点B作BMy轴，若四边形ABDE为矩形，则BC=CD，BM2+CM2=BC2=CD2，12+（a）2=22，a=，y1抛物线开口向下，a=，y2由y1绕点C旋转180得到，则顶点E（1，1），设y2=a（x+1）2+1，则a=，y2=x2+2x+1；（3）如图1，当0t1时，则DP=t，构建直角BQD，得BQ=，DQ=3，则BD=2，BDQ=30，PH=，PG=t，S=（PE+PF）D
4、P=t2，如图2，当1t2时，EG=EG=（t1），EF=2（t1），S不重合=（t1）2，S=S1+S2S不重合=+（t1）（t1）2，=；综上所述：S=t2（0t1）或S=（1t2）20160927093405609249 8 与二次函数有关的运动问题 应用题 数学思考 2016/9/272. (2016 广东省深圳市) 】如图，抛物线y=ax2+2x3与x轴交于A、B两点，且B（1，0）（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；（2）如图1，点P是直线y=x上的动点，当直线y=x平分APB时，求点P的坐标；（3）如图2，已知直线y=x分别与x轴、y轴交于C、F两点，点Q是直线CF下方的抛物线上
5、的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF于点D，点E在线段CD的延长线上，连接QE问：以QD为腰的等腰QDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由答案：】分析（1）把B点坐标代入抛物线解析式可求得a的值，可求得抛物线解析式，再令y=0，可解得相应方程的根，可求得A点坐标；（2）当点P在x轴上方时，连接AP交y轴于点B，可证OBPOBP，可求得B坐标，利用待定系数法可求得直线AP的解析式，联立直线y=x，可求得P点坐标；当点P在x轴下方时，同理可求得BPO=BPO，又BPO在APO的内部，可知此时没有满足条件的点P；（3）过Q作QHDE于点H，由直线CF的解析式
6、可求得点C、F的坐标，结合条件可求得tanQDH，可分别用DQ表示出QH和DH的长，分DQ=DE和DQ=QE两种情况，分别用DQ的长表示出QDE的面积，再设出点Q的坐标，利用二次函数的性质可求得QDE的面积的最大值解答解：（1）把B（1，0）代入y=ax2+2x3，可得a+23=0，解得a=1，抛物线解析式为y=x2+2x3，令y=0，可得x2+2x3=0，解得x=1或x=3，A点坐标为（3，0）；（2）若y=x平分APB，则APO=BPO，如图1，若P点在x轴上方，PA与y轴交于点B，由于点P在直线y=x上，可知POB=POB=45，在BPO和BPO中，BPOBPO（ASA），BO=BO=1
7、，设直线AP解析式为y=kx+b，把A、B两点坐标代入可得，解得，直线AP解析式为y=x+1，联立，解得，P点坐标为（，）；若P点在x轴下方时，同理可得BOPBOP，BPO=BPO，又BPO在APO的内部，APOBPO，即此时没有满足条件的P点，综上可知P点坐标为（，）；（3）如图2，作QHCF，交CF于点H，CF为y=x，可求得C（，0），F（0，），tanOFC=，DQy轴，QDH=MFD=OFC，tanHDQ=，不妨设DQ=t，DH=t，HQ=t，QDE是以DQ为腰的等腰三角形，若DQ=DE，则SDEQ=DEHQ=tt=t2，若DQ=QE，则SDEQ=DEHQ=2DHHQ=tt=t2，t
8、2t2，当DQ=QE时DEQ的面积比DQ=DE时大设Q点坐标为（x，x2+2x3），则D（x， x），Q点在直线CF的下方，DQ=t=x（x2+2x3）=x2x+，当x=时，tmax=3，（SDEQ）max=t2=，即以QD为腰的等腰三角形的面积最大值为点评本题主要考查二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、三角形的面积、等腰三角形的性质、二次函数的性质及分类讨论等在（2）中确定出直线AP的解析式是解题的关键，在（3）中利用DQ表示出QDE的面积是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，计算量大，难度较大20160926204656156942 8
9、 与二次函数有关的运动问题 应用题 数学思考 2016/9/263. (2016 广西梧州市) 】如图，抛物线y=ax2+bx4（a0）与x轴交于A（4，0）、B（1，0）两点，过点A的直线y=x+4交抛物线于点C（1）求此抛物线的解析式；（2）在直线AC上有一动点E，当点E在某个位置时，使BDE的周长最小，求此时E点坐标；（3）当动点E在直线AC与抛物线围成的封闭线ACBDA上运动时，是否存在使BDE为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E点的坐标；若不存在，请说明理由答案：】考点二次函数综合题分析（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先判断出周长最小时BEAC，即作点B关于
10、直线AC的对称点F，连接DF，交AC于点E，联立方程组即可；（3）三角形BDE是直角三角形时，由于BDBG，因此只有DBE=90或BDE=90，两种情况，利用直线垂直求出点E坐标解答解：（1）抛物线y=ax2+bx4（a0）与x轴交于A（4，0）、B（1，0）两点，抛物线解析式为y=x23x4，（2）如图1，作点B关于直线AC的对称点F，连接DF交AC于点E，由（1）得，抛物线解析式为y=x23x4，D（0，4），点C是直线y=x+4与抛物线的交点，联立解得，（舍）或，C（2，6），A（4，0），直线AC解析式为y=x+4，直线BFAC，且B（1，0），直线BF解析式为y=x+1，设点F（m，
11、m+1），G（，），点G在直线AC上，m=4，F（4，5），D（0，4），直线DF解析式为y=x4，直线AC解析式为y=x+4，直线DF和直线AC的交点E（，），（3）BD=，由（2）有，点B到线段AC的距离为BG=BF=5=BD，BED不可能是直角，B（1，0），D（0，4），直线BD解析式为y=4x+4，BDE为直角三角形，BDE=90，BEBD交AC于B，直线BE解析式为y=x+，点E在直线AC：y=x+4的图象上，E（3，1），BDE=90，BEBD交AC于D，直线BE的解析式为y=x4，点E在抛物线y=x23x4上，直线BE与抛物线的交点为（0，4）和（，），E（，），即：满足条件的
12、点E的坐标为E（3，1）或（，）点评此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，极值，对称性，直角三角形的性质，解本题的关键是求函数图象的交点坐标20160926201653890162 8 与二次函数有关的运动问题 应用题 解决问题 2016/9/264. (2016 广西南宁市) 】如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x2交于B，C两点（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）求证：ABC是直角三角形；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MNx轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由答案
13、：】考点二次函数综合题分析（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；（2）分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，结合A、B、C三点的坐标可求得ABO=CBO=45，可证得结论；（3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当MON和ABC相似时，利用三角形相似的性质可得=或=，可求得N点的坐标解答解：（1）顶点坐标为（1，1），设抛物线解析式为y=a（x1）2+1，又抛物线过原点，0=a（01）2+1，解得a=1，抛物线解析式为y=（x1）2+1，即y=x2+2x，联立抛物线和直线解析式可得，解得或，B（2，0），C（1，3）；（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，ABO=CBO=45，即ABC=90，ABC是直角三角形；（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，x2+2x），ON=|x|，MN=|x2+2x|，由（2）在RtABD和RtCEB中，可分别求得AB=，BC=3，MNx轴于点NABC=MNO=90，当ABC和MNO相似时有=或=，当=时，则有=，即|x|x+2|=|x|，当x=0时M、O、N不能构成三角形，x0，|x+2|=，即x+2=，解
