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1、1. (2013 浙江省舟山市) 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y(xm)2m2m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，ACAB，交y轴于点C，延长CA到点D，使ADAC，连结BD作AEx轴，DEy轴（1）当m2时，求点B的坐标；（2）求DE的长；（3）设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？过点D作AB的平行线，与第（3）题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？ 答案：解：（1）当m2时，y(x2)21，把x0代入y(x2)21，得：y2，点B的坐标为（0，2）.（2）延长EA，交y轴于点F.ADAC，AFCAED90
2、，CAFDAE，AFCAED，（图1）AFAE.点A（m，m2m），点B（0，m）,AFAE|m|，BFm(m2m)m2 .ABF90BAFDAE，AFBDEA90，ABFDAE ,，即： ,DE4.（3）点A的坐标为（m，m2m），（图2）点D的坐标为（2m，m2m4），x2m，ym2m4y4,所求函数的解析式为yx2x4.作PQDE于点Q，则DPQBAF （）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1），点P的横坐标为3m 点P的纵坐标为m2m4(m2)m2m4.把P（3m，m2m4）的坐标代入yx2x4，得m2m4(3m)2(3m)4.解得：m0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m8
3、.（）当四边形ABDP为平行四边形时（如图2），点P的横坐标为m ,点P的纵坐标为m2m4(m2)m4.把P（m，m4）代入yx2x4，得m4m2m4,解得m0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m8综上所述：m的值8或8 20130929082555417043 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2013-09-292. (2013 浙江省台州市) 如图1,已知直线与轴交于点，抛物线经过点，其顶点为,另一抛物线的顶点为,两抛物线相交于点.（1）求点的坐标，并说明点在直线上的理由；（2）设交点的横坐标为. 交点的纵坐标可以表示为: 或 ,由此请进一步探究关于的函数关系式;图
4、1图2如图2,若,求的值.（第23题）答案：（1）当时，把代入，得 ,. . 2分, 1分当. 1分(2)或.2分由题意，得 =， 1分. 1分, . 2分过点作轴的垂线,垂足为,过点作于点.又,.又,.,解得. 2分20130924150106185558 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2013-09-243. (2013 山东省聊城市) 已知在ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20写出ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长；当BC多长时， ABC的面积最大？最大面积是多少？当ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说明
5、理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明答案：解：依题意得：，解方程得：，当ABC面积为48时BC的长为12 或8； 由得：，当即BC=10时，ABC的面积最大，最大面积是50；ABC的周长存在最小的情形，理由如下：由可知ABC的面积最大时，BC=10，BC边上的高也为10，过点A作直线L平行于BC，作点B关于直线L的对称点，连接交直线L于点，再连接，则由对称性得：，当点A不在线段上时，则由三角形三边关系可得：，当点A在线段上时，即点A与重合，这时，因此当点A与重合时，ABC的周长最小；这时由作法可知：，因此当ABC面积最大时，存在其周长最小的情形，最小周长为20130922112059
6、875111 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2013-09-224. (2013 山东省莱芜市) 如图，抛物线经过点，交轴于点（1）求抛物线的表达式；（2）为抛物线在第二象限部分上的一点，作垂直轴于点，交线段于点，求线段长度的最大值，并求此时点的坐标； （3）抛物线上是否存在一点，作垂直轴于点，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由答案：解：（1）由题意可知 解得抛物线的表达式为（3分）（2）将代入抛物线表达式，得，点的坐标为（0，1）设直线的表达式为，则，解得直线的表达式为（4分）设点的坐标为，则点的坐标为当时，的最大值为，此时，即点的坐标为（
7、3）存在点，使得以点为顶点的三角形与相似在中，要使两个三角形相似，由题意可知，点不可能在第一象限设点的坐标为当点在第二象限时，点不可能在直线上，只能，即解得或，又，故此时满足条件的点不存在当点在第三象限时，点不可能在直线上，只能，即解得（舍去）或，此时点的坐标为当点在第四象限时，若时，则，即，解得（舍去）或，当时，此时点的坐标为（10分）若时，则，即，解得（舍去）或，此时点的坐标为综上所述，满足条件的点的坐标为20130922111911625205 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2013-09-225. (2013 山东省东营市) AO（第24题图）xyB 已知抛物线y=a
8、x2+bx+c的顶点A（2，0），与y轴的交点为B（0，-1）(1)求抛物线的解析式；(2)在对称轴右侧的抛物线上找出一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A并求出点C的坐标以及此时圆的圆心P点的坐标(3)在（2）的基础上，设直线x=t（0t10）与抛物线交于点N，当t为何值时，BCN的面积最大，并求出最大值答案：解：(1) 抛物线的顶点是A(2,0)，设抛物线的解析式为.由抛物线过B(0,-1) 得，2分抛物线的解析式为.即3分A（第24(2)答案图）xOyCBPHD (2)设C的坐标为(x，y).A在以BC为直径的圆上.BAC=90作CDx轴于D ,连接AB、AC则有 AOBCDA4分
9、OBCD=OAAD即1=2(x-2).=2x-4点C在第四象限.5分由解得 点C在对称轴右侧的抛物线上.点C的坐标为 (10,-16)6分AxOyCBMNx=t（第24(3)答案图）P为圆心，P为BC中点取OD中点H，连PH，则PH为梯形OBCD的中位线PH=(OB+CD)=7分D(10,0)H (5,0)P (5, ) 故点P坐标为(5，)8分(3)设点N的坐标为，直线x=t（0t10）与直线BC交于点M.，所以 9分设直线BC的解析式为，直线BC经过B(0,-1)、C (10,-16)所以成立，解得：10分所以直线BC的解析式为，则点M的坐标为.MN=11分 =所以，当t=5时，有最大值，
10、最大值是.12分20130922111620937159 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2013-09-226. (2013 重庆市綦江县) 如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为.（1）求点的坐标；（2）已知，为抛物线与轴的交点.若点在抛物线上，且，求点的坐标；设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值.答案：解：（1）点与点关于直线对称，点的坐标为（1，0）。抛物线过点，且对称轴为直线，且点的坐标为。设的坐标为。由题意。当时，有当时，有点的坐标为（4，21）或。直线过、两点，解得。设点的坐标为，.则有=。，当时，有最大值。线段长度的最大值
11、为。20130922111122718649 7 与二次函数有关的综合问题 复合题 解决问题 2013-09-227. (2013 山东省潍坊市) 如图，抛物线关于直线对称，与坐标轴交于三点，且，点在抛物线上，直线是一次函数的图象，点是坐标原点.（1）求抛物线的解析式；（2）若直线平分四边形的面积，求的值；（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于两点，问在轴正半轴上是否存在一定点，使得不论取何值，直线与总是关于轴对称？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.答案：解：（1）因为抛物线关于直线对称，所以，（1分）又点在抛物线上，所以，所以，即，又，即，代入上式解得，（3分）从而得，所以（4分）（2）由（1）知，令，得，所以，（5分）令，得与的交点，令得与轴的交点，（6分）根据得：即：，解得（8分）（3）由（1）知，所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（9分）假设在轴上存在一点，使直线与关于轴对称，过点、分别向轴作垂线、，垂足分别为、，因为，所以，所以，（1）（10分）不妨设点在点的左侧，因为点在轴正半轴上，则（1）式变为，又，所以，（2）（11分）把代入整理得，所以，代入（2）式解得，符合条件，故在轴上存在一点，使直线与总是关于轴对称.（13分）说明：本参考答案给出了一种解题方法，
