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1、1. (2015 浙江省舟山市) 类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”。（1）概念理解如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件，使得四边形ABCD是“等邻边四边形”，请写出你添加的一个条件；（2）问题探究小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形，她的猜想正确吗？请说明理由；如图2，小红画了一个RtABC，其中ABC=90，AB=2，BC=1，并将RtABC沿B的平分线BB方向平移得到ABC，连结AA，BC。小红要使平移后的四边形ABCA是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段BB 的长）？（3）应用拓展如图3，“等邻边四边形”ABCD中，AB=
2、AD，BAD+BCD=90，AC，BD为对角线，AC=AB。试探究BC，CD，BD的数量关系。答案：答案AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB(任写一个即可)；正确；2或或或；.解析试题分析：(1)、AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB(任写一个即可)；(2)、根据对角线互相平分得出平行四边形，根据邻边相等得出菱形；、根据ABC=90得出AC=，根据平移得出AB=AB=2，BC=BC=1，AC=AC=，当AA=AB得出BB=AA=AB=2，当AA=AC时得出BB=AA=AC=，当AC=BC=画出图形，设BD=BD=x，则CD=x+1，BB=x，根据RtBCD的勾股定理得出x的
3、值，从而得出BB的值，当BC=AB=2时，利用同上的方法求出BB的值；(3)、将ABC绕点A旋转到ABF，连接CF得出ABFADC，则ABF=ADC，BAF=DAC，AF=AC，FB=CD则BAD=CAF =1，从而得出ACFABD则CF=BD，根据BAD+ADC+BCD+ABC=360得出ABC+ADC=270，然后利用得出答案.、由ABC=90AB=2，BC=1得：AC= 将RtABC平移得到RtABCBB=AA ABAB AB=AB=2 BC=BC=1 AC=AC=(I)如图2-1，当AA=AB时，BB=AA=AB=2(II)如图2-2，当AA=AC时，BB=AA=AC=；(III)当A
4、C=BC=时，如图2-3 延长CB交AB于点D，则CBABBB平分ABC ABB=ABC=45 BBD=ABB=45 BD=BD设BD=BD=x，则CD=x+1，BB=x 根据RtBCD的勾股定理可得：解得：x=1或x=2(不合题意，舍去) BB=x=(IV)当BC=AB=2时 如图2-5 与(III)方法同理可得：x=或(舍去)BB=x=、BC、CD、BD的数量关系为：如图3-1 AB=AD 将ABC绕点A旋转到ABF，连接CF ABFADCABF=ADC BAF=DAC AF=AC FB=CD BAD=CAF =1ACFABD CF=BDBAD+ADC+BCD+ABC=360 ABC+AD
5、C=360(BAD+BCD)=270 2. (2015 四川省达州市) 】阅读与应用：阅读1：a、b为实数，且a0，b0，因为（）20，所以a2+b0从而a+b2（当a=b时取等号）阅读2：若函数y=x+；（m0，x0，m为常数），由阅读1结论可知：x+2，所以当x=，即x=时，函数y=x+的最小值为2阅读理解上述内容，解答下列问题：问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2（x+），求当x=时，周长的最小值为；问题2：已知函数y1=x+1（x1）与函数y2=x2+2x+10（x1），当x=时，的最小值为；问题3：某民办学校每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职
6、工工资4900元；二是学生生活费成本每人10元；三是其他费用其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系数为0.01当学校学生人数为多少时，该校每天生均投入最低？最低费用是多少元？（生均投入=支出总费用学生人数）答案：】分析：问题1：根据阅读2得到x+的范围，进一步得到周长的最小值；问题2：将变形为（x+1）+，根据阅读2得到（x+1）+，的范围，进一步即可求解；问题3：可设学校学生人数为x人，根据生均投入=支出总费用学生人数，列出代数式，再根据阅读2得到范围，从而求解解答：解：问题1：x=（x0），解得x=2，x=2时，x+有最小值为2=4故当x=2时，周长的最小值为24=8问题2：函数y1
7、=x+1（x1），函数y2=x2+2x+10（x1），=（x+1）+，x+1=，解得x=2，x=2时，（x+1）+有最小值为2=6问题3：设学校学生人数为x人，则生均投入=10+0.01x+=10+0.01（x+），x=（x0），解得x=700，x=700时，x+有最小值为2=1400，故当x=700时，生均投入的最小值为10+0.011400=24元答：当学校学生人数为700时，该校每天生均投入最低，最低费用是24元故答案为：2，8；2，6点评：考查了二次函数的应用，本题关键是理解阅读1和阅读2的知识点：当x=，即x=时，函数y=x+的最小值为23. (2015 山东省日照市) 阅读资料：如
8、图1，在平面之间坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由勾股定理得AB2=|x2x1|2+|y2y1|2，所以A，B两点间的距离为AB= 我们知道，圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系xoy中，A（x，y）为圆上任意一点，则A到原点的距离的平方为OA2=|x0|2+|y0|2，当O的半径为r时，O的方程可写为：x2+y2=r2 问题拓展：如果圆心坐标为P（a，b），半径为r，那么P的方程可以写为 综合应用：如图3，P与x轴相切于原点O，P点坐标为（0，6），A是P上一点，连接OA，使tanPOA=，作PDOA，垂足为D，延长PD交
9、x轴于点B，连接AB证明AB是P的切点；是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写出以Q为圆心，以OQ为半径的O的方程；若不存在，说明理由答案：分析：问题拓展：设A（x，y）为P上任意一点，则有AP=r，根据阅读材料中的两点之间距离公式即可求出P的方程；综合应用：由PO=PA，PDOA可得OPD=APD，从而可证到POBPAB，则有POB=PAB由P与x轴相切于原点O可得POB=90，即可得到PAB=90，由此可得AB是P的切线；当点Q在线段BP中点时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得QO=QP=BQ=AQ易证OBP=POA，则有tanOBP=由P点坐标
10、可求出OP、OB过点Q作QHOB于H，易证BHQBOP，根据相似三角形的性质可求出QH、BH，进而求出OH，就可得到点Q的坐标，然后运用问题拓展中的结论就可解决问题解答：解：问题拓展：设A（x，y）为P上任意一点，P（a，b），半径为r，AP2=（xa）2+（yb）2=r2故答案为（xa）2+（yb）2=r2；综合应用：PO=PA，PDOA，OPD=APD在POB和PAB中，POBPAB，POB=PABP与x轴相切于原点O，POB=90，PAB=90，AB是P的切线；存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q当点Q在线段BP中点时，POB=PAB=90，QO=QP=BQ=AQ此时点Q到四点O，P
11、，A，B距离都相等POB=90，OAPB，OBP=90DOB=POA，tanOBP=tanPOA=P点坐标为（0，6），OP=6，OB=OP=8过点Q作QHOB于H，如图3，则有QHB=POB=90，QHPO，BHQBOP，=，QH=OP=3，BH=OB=4，OH=84=4，点Q的坐标为（4，3），OQ=5，以Q为圆心，以OQ为半径的O的方程为（x4）2+（y3）2=25点评：本题是一道阅读题，以考查阅读理解能力为主，在解决问题的过程中，用到了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、切线的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角函数的定义等知识
12、，有一定的综合性4. (2015 山东省青岛市) 】问题提出用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？问题探究不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论探究一（1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？此时，显然能搭成一种等腰三角形所以，当n=3时，m=1（2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形所以，当n=4时，m=0（3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的
13、等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形所以，当n=5时，m=1（4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形所以，当n=6时，m=1综上所述，可得：表n3456m1011探究二（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？（仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在表中）（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？（只需把结果填在表中）表n78910m你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，问题解决：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（设n分别等于4k1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表中）表n4k14k4k+14k+2m问题应用：用2016根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（写出解答过程），其中面积最大的等腰三角形每腰用了根木棒（只填结果）
