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1、1. (2011 河南省) 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线 33 42 yx 交于、两点，点在轴上，点的横坐标为 2 1 4 yxbxc ABAxB8 （1）求该抛物线的解析式； （2）点是直线上方的抛物线上一动点（不与点、重合） ，过点作轴的垂线，PABABPx 垂足为，交直线于点，作于点CABDPEABE 设的周长为 ，点的横坐标为，求 关于的函数关系式，并求出 的最大值；PDElPxlxl 连接，以为边作图示一侧的正方形随着点的运动，正方形的大小、位PAPAAPFGP 置也随之改变当顶点或恰好落在轴上时，直接写出对应的点的坐标FGyP 答案：1）对于，当时，当时， 33 42 y
2、x0y 2x 8x 15 2 y 点坐标为（2，0） ，点坐标为AB 15 8 2 ， 由抛物线经过、两点，得 2 1 4 yxbxc AB 012 15 168. 2 bc bc ， 解得 35 42 bc ， 2 135 442 yxx （2）设直线与轴交于点 33 42 yxyM 当时，0x 3 2 y 3 2 OM 点的坐标为（2，0） ，A 2OA 22 5 2 AMOAOM 3 4 5OM OA AM 由题意得，90PDEOMAAOMPED ， AOMPED 35DE PE PD 4 点是直线上方的抛物线上一动点，PAB PD PDyy = 2 13533 44242 xxx =
3、2 13 4 42 xx 2 1213 4 542 lxx = 2 31848 555 xx 23 315 5 lx 315xl 最大 时， 满足题意的点有三个，分别是P 123 317317789789 22 2222 PPP ， 解法提示 当点落在轴上时，由得，即，解GyACPGOA2PCAO 2 135 2 442 xx 得，所以当点落在轴上时，同法 317 2 x 12 317317 22 22 PP ，Fy 可得，（舍去） 3 789789 22 P ， 4 789789 22 P ， 20110823171233140381 7 与二次函数有关的综合问题 复合题 数学思考 2011
4、-08-23 2. (2011 浙江省丽水市) 在平面直角坐标系中，如图 1，将个边长为 1 的正方形并排组成矩n 形，相邻两边和分别落在轴和轴的正半轴上，设抛物线OABCOAOCxy 过矩形顶点 2 0yaxbxc aBC、 （1）当时，如果，试求的值；1n 1a b （2）当时，如图 2，在矩形上方作一边长为 1 的正方形，使的线段2n OABCEFMNEF 上，如果两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；CBMN， （3）将矩形绕点顺时针旋转，使得点落在轴的正半轴上，如果该抛物线同时经OABCOBx 过原点O 试求当时的值；3n a 直接写出关于的关系式an y xOA B 图 1 C
5、 y xO B A NM FE 图 2 C y x O B C 图 3 A 答案：（1）由题意可知，抛物线对称轴为直线x， 1 2 ，得b1； 2 b a 1 2 A O B C y x （2）设所求抛物线的解析式为yax2bx1， 由对称性可知抛物线经过点B(2，1)和点， 1 (2) 2 M， 解得 1421 11 21. 42 ab ab ， 4 3 8 . 3 a b ， 所求抛物线解析式为 2 48 1 33 yxx AO BC y x NM FE （3）当n3 时，OC1，BC3， 设所求抛物线的解析式为yax2bx， 过C作CDOB于点D，则 RtOCDRtCBD， =， OD
6、CD OC BC 1 3 设ODt，则CD3t， OD2CD2OC2， （3t）2 t 212， t=， 1 10 10 10 C(，又B(，0)， 10 10 3 10 10 10 把B、C坐标代入抛物线解析式，得 解得：a； 01010 3110 10. 101010 ab ab ， 10 3 a. 2 1n n 20110823155916453236 7 与二次函数有关的综合问题 阅读理解与信息迁移 基础知识 2011-08-23 3. (2011 天津市) 已知抛物线，点 2 11 1 1 2 Cyxx 11F， （）求抛物线的顶点坐标； 1 C （）若抛物线与轴的交点为，连接，并延
7、长交抛物线于点，求证 1 CyAAF 1 CB ； 11 2 AFBF 取抛物线上任意一点，连接，并延长交抛物线于点 1 C01 ppp P xyx，PF 1 C DO B A y x C ，试判断是否成立？请说明理由； QQ Q xy， 11 2 PFQF （）将抛物线作适当的平移，得抛物线，若时， 1 C 2 22 1 2 Cyxh2xm 恒成立，求的最大值 2 yxm 答案：解：（）， 2 2 1 111 11 222 yxxx 抛物线的顶点坐标为 1 C 1 1 2 ， （）根据题意，可得点，01A， ， 11F， 轴，得，ABx1AFBF 11 2 AFBF 成立 11 2 PFQF
8、 理由如下： 如图，过点作于点， PP P xy，PMABM 则1101 PPP FMxPMyx ， 中，由勾股定理，RtPMF 得 22 222 11 PP PFFMPMxy 又点在抛物线上， PP P xy， 1 C 得，即 211 1 22 PP yx 2 121 PP xy ， 2 22 211 PPP PFyyy 即 P PFy 过点作，与的延长线交于点， QQ Q xy，QNABABN 同理可得 Q QFy ，90PMFQNFMFPNFQ ， PMFQNF 有 PFPM QFQN 这里，1111 PQ PMyPFQNyQF ， ， 1 1 PFPF QFQF 即 11 2 PFQF
9、 （）令， 3 yx 设其图象与抛物线交点的横坐标为，且， 2 C 00 x x ， 00 x x 抛物线可以看作是抛物线左右平移得到的， 2 C 2 1 2 yx 观察图象，随着抛物线向右不断平移，的值不断增大， 2 C 00 x x ， 当满足，恒成立时，的最大值在处取得2xm 2 yxm 0 x 可得，将代入， 0 2x 21 2 xhx 有， 21 22 2 h 解得或（舍去） ，4h 0h 2 2 1 4 2 yx 此时，由，得， 23 yy 21 4 2 xx 解得， 00 28x x ， 的最大值为 8m 20110822152558625529 7 与二次函数有关的综合问题 猜
10、想、探究题 解决问题 2011- 08-22 4. (2011 四川省眉山市) 如图，在直角坐标系中，已知点、，将点绕点01A，4 4B ，B 顺时针方向旋转得到点；顶点在坐标原点的抛物线经过点A90CB （1）求抛物线的解析式和点的坐标；C （2）抛物线上一动点，设点到轴的距离为，点到点的距离为，试说明PPx 1 dPA 2 d ； 21 1dd （3）在（2）的条件下，请探究当点位于何处时，的周长有最小值，并求出PPAC 的周长的最小值PAC 答案：解：（1）设抛物线的解析式为 2 yax 抛物线经过点， 2 yax4 4B ， 416 1 4 a a 解析式为 2 1 4 yx 过点作轴
11、于，过点作轴于，BBEyECCDyD 易证BAEACD 43ADBECDAE， 35C， （2）设 00 P xy， 在上，P 2 1 4 yx ， 2 00 1 4 yx 2 10 1 4 dx 过作垂直于轴PPFy 2 00 1 1 4 AFxPFx， 22 2 PAdAFPF = 2 22 00 1 1 4 xx = 2 0 1 1 4 x 21 1dd （3）过点作轴于，由（1）可得，PPHxH5AC 的周长=PAC5PCPA 由（2）可得，的周长=PAC6PCPH 当、三点共线时，最小CPHPCPH 当坐标为时的周长最小，最小值为 11P 9 3 4 ，PAC 20110822135
12、033421242 7 与二次函数有关的综合问题 阅读理解与信息迁移 解决问题 2011-08-22 5. (2011 广西南宁市) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过（3，0） 2 yxmxnA B（0，）两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，设点、3PABPxM 的横坐标为 Pt （1）分别求直线和这条抛物线的解析式；AB （2）若点在第四象限，连接，当线段最长时，求的面积；PBMAM、PMABM （3）是否存在这样的点，使得以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，PPMBO、 请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由P 答案：解：（1）设直线AB ykxb: 把代入得(
13、3 0)(03)AB，、， 30 3 kb b 1 3 k b 直线:3AB yx 把代入得得(3 0)(03)AB，、， 2 yxmxn 930 3 mn n 2 3 m n 抛物线的解析式为：抛物线的解析式为： 2 23yxx （2）点在直线上且在第四象限PAB (3) (03)P ttt ， 又轴MPx 2 (23)M ttt， 2 (3)(23)PMttt 2 3tt = 2 39 () 24 t 当时，有最大值为 3 2 t PM 9 4 ABMBPMAPM SS =S = 1 2 PM OA = 19 3 24 = 27 8 （3）点的横坐标为：或P 321 2 321 2 20110822132722562889 7 与二次函数有关的综合问题 猜想、探究题 数学思考 2011- 08-22 6. (2011 四川省泸州市) 已知二次函数的图象的顶点坐标为，且 2 yaxbxc0 2 p ， 1 4 ac （1）若该函数的图象过点11， 求使成立的取值范围；0y x 若圆心在该函数的图象上的圆与轴、轴都
