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1、1. (2012 湖北省宜昌市) 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与两坐标轴交于两点，为该直线上一动点，以每秒1个单位长度的速度从点开始沿直线向右上移动，作等边，点与点都在轴上，以点为顶点的抛物线经过点与轴、直线都相切，其半径为（1）求点的坐标和的度数；（2）当点与点得合时，求的值；（3）点移动多少秒时，等边的边第一次与相切？EA（C）BDO（图1）yyxxBAO（图2）M答案：解：（1）当时，；当时，的坐标是， （2）为等边，点，的坐标是，的坐标是， （算出中一个点的坐标即可评1分）把代入，解得：（3）方法一：如图，设切点分别是，连接，过点作轴，为垂足，过作，为垂足为等边，分别与相切，四边
2、形为矩形，四边形为正方形 和轴都与相切，在中， 设二次函数的解析式为：，在该抛物线上，得：，解之得， 点移动4秒时，等边的边第一次与相切 方法二：四边形为正方形在直线：上，在中， ，化简得：在抛物线上，由，解得 在中，由勾股定理，得：，所以，点移动4秒时，等边的边与相切方法三：辅助线作法同方法一设，即点移动秒时，等边的边第一次与相切则， 可求得，可得，则，可设二次函数的解析式为：，把代入证四边形为正方形，（同方法一）求出，（同方法一）联立得，点移动秒时，等边的边第一次与相切20121028224305609456 7 与二次函数有关的综合问题 动态几何 基础知识 2012-10-282. (2
3、012 山东省菏泽市) 如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为,将此三角板绕原点逆时针旋转，得到.（1）一抛物线经过点、，求该抛物线的解析式；（2）设点是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点，使四边形的面积是面积的倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（2）的条件下，试指出四边形是哪种形状的四边形？并它的两条性质.xyO-11221答案：解：(1)是由绕原点逆时针旋转得到的，又，. 设抛物线的解析式为，抛物线经过点、，解之得，满足条件的抛物线的解析式为. （2）为第一象限内抛物线上的一动点，设，则，点坐标满足.连结,.-5分假设四边形的面积是面积的倍，则，即
4、，解之得，此时，即. 存在点，使四边形的面积是面积的倍. （3）四边形为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可等腰梯形同一底上的两个内角相等；等腰梯形对角线相等；等腰梯形上底与下底平行；等腰梯形两腰相等. 或用符号表示：或;. 20121028224305109992 7 与二次函数有关的综合问题 动态几何 基础知识 2012-10-283. (2012 广西河池市) 如图，在等腰三角形中，以底边的垂直平分线和所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线经过、两点.(1)写出点、点的坐标；(2)若一条与轴重合的直线以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段、和抛物线于点、和点，连结、.设直线
5、移动的时间为t（0t4）秒，求四边形的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形的最大面积；(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.答案：解：（8，0）、（0，4）. 连结，根据题意得点在抛物线上，点P的坐标为（，） 点、的坐标分别为（8，0）、（0，4），垂直平分 ， 即 （0t4）当t=2时，有最大值为64.四边形的最大面积为64个平方单位.（3）抛物线上存在点，使得是直角三角形. 显然，当时， 来源:Zxxk.Com 在和中，即解得，（不符合题意，舍去）当时，点的坐标为（，）（此题解法较多，只要正确，可参考
6、以上评分标准给分）20120815120357906242 7 与二次函数有关的综合问题 动态几何 数学思考 2012-08-154. (2012 青海省) 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点，点P是直线BC下方抛物线上的动点.（1）求这个二次函数表达式；（2）连接PO，PC，并将POC沿y轴对折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积. 答案：解：（1）将B、C两点的坐标代
7、入得，解得.所以二次函数的表达式为：.（2）假设抛物线上存在点P，使得四边形为菱形.设P点坐标为（x，），连接交CO于点E.四边形为菱形，PC=PO；PECO.OE=EC=，P点的纵坐标为，即=，解得（不合题意，舍去）.即存在这样的点，此时P点的坐标为（，）（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，）.由=0得点A坐标为（1，0）.又已知点B和点C的坐标，从而直线BC的解析式为y=x3.Q点的坐标为（x，x3），则AB=4，CO=3，BO=3，PQ=.S四边形ABPC=SABC+ SBPQ + SCPQ =ABCO+PQBF+PQFO=ABCO+PQ（BF+FO）=
8、ABCO+PQBO=43+（）3=.当x=时，四边形ABPC的面积最大.此时P点的坐标为（，），四边形ABPC的最大面积为.20120815113502593460 7 与二次函数有关的综合问题 动态几何 数学思考 2012-08-155. (2012 湖北省黄石市) 如图（7）所示，已知点从点（，）出发，以每秒个单位长的速度沿着轴的正方向运动，经过秒后，以、为顶点作菱形，使、点都在第一象限内，且，又以（，）为圆心，为半径的圆恰好与所在直线相切，则_.答案：20120815095438406887 7 与二次函数有关的综合问题 填空题 双基简单应用 2012-08-156. (2012 广东省
9、茂名市) 本题满分8分）如图所示，抛物线经过原点和，与轴交于点，点、同时从原点出发，点以2个单位/秒的速度沿轴正方向运动，点以1个单位/秒的速度沿轴正方向运动，当其中一个点停止运动时，另一点也随之停止 （1）求抛物线的解析式和点的坐标； （3分） （2）在点、运动过程中， 若线段与交于点，试判断与的位置关系，并说明理由；（3分） 若线段与抛物线相交于点，探索：是否存在某一时刻，使得以、为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由 （2分）解：答案：解：（1）依题意，得 解得2分图3抛物线的解析式为.令，则有，解得，.点坐标为3分（2）.理由如下： 4分过点作轴于点（如图3）
10、，则，.由已知可得：，. 5分.，.图4. 6分存在.设点的坐标为，依题意可得：当点是点关于抛物线 对称轴的对称点时，四边形为等腰梯形.易知点坐标为.过点作轴于点（如图4），则,.由得，. 8分20120814151548718402 7 与二次函数有关的综合问题 复合题 基础知识 2012-08-147. (2012 广西贺州市) 如图，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC.（1）求点A、B、C的坐标.（2）点P为AB上的动点(点A、O、B除外)，过点P作直线PN轴，交抛物线于点N，交直线BC于点M，设点P到原点的值为t，MN的长度为s，求s与t的函数关系式
11、.（3）在（2）的条件下，试求出在点P运动的过程中，由点O、P、N围成的三角形与RtCOB相似时点P的坐标.答案：解：（1）点A、B、C在二次函数图像上把代入得 把代入得 A(-1，0) B(4，0) C(0，2)（2）设直线BC的解析式为，则 直线BC的解析式为 OP=t （不写出点t的取值范围不给分）（3）若OPNOCB，当OP与OC是对应边时，则 即化简得：解得： （不合题意，舍去）若OPNOBC，当OP与OB是对应边时，则即 化简得：解得： （不合题意，舍去） 符合题意的点P的坐标为和 20120814110909062508 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2012-08-148. (2012 广西钦州市) 如图甲，在平面直角坐标系中，、的坐标分别为（4，0）、（0，3），抛物线经过点，且对称轴是直线（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）将图甲中的沿轴向左平移得到（如图乙），当四边形是菱形时，请说明点和点都在该抛物线上.（3）在（2）中，若点是抛物线上的一个动点（点不与点重合），通过作轴交直线于，设点的横坐标为，的长度为，求与之间的函数解析式.并求当为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形.（参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴是直线）答案：解：（1）由已知，得解得二次函数的解析式为 （2）在中，又四边形是菱形，沿轴向左平移得到
