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1、专题十九 二次函数代数方面的应用瞄准中考三、解答题1. （2018广西省桂林市，26，12分）如图，已知抛物线与x轴交于点A（3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C.(1)求抛物线y的函数表达式及点C的坐标；(2)点M为坐标平面内一点，若MAMBMC，求点M的坐标；(3)在抛物线上是否存在点E，使4tanABE11tanACB?若存在，求出满足条件的所有E点的坐标；若不存在，请说明理由.学！科网【思路分析】（1）将点A（3，0）和点B（1，0）分别代入即可求出抛物线的解析式及点C的坐标；（2）如图（1），分别作线段AB、AC的垂直平分线，相交于点M，则点M可使MAMBMC，根据点A和点C的坐
2、标可求出点D的坐标，根据互相垂直的两条直线的k值乘积为1，则可求出线段AC的垂直平分线DE的关系式，从而得出点M的坐标；（3）过点B作BGAC于点G，过点E作EFy轴于点F，先求出直线BG的关系式，即可得到点G的坐标，求得tanABE的值，再根据4tanABE11tanACB 解得EF2 BF,即可求出点E的坐标【解题过程】解：（1）将点A（3，0）和点B（1，0）分别代入得， ，解得a1，抛物线的解析式为，当x0时，y6，点C的坐标为（0，6）；（2）如图（1），分别作线段AB、AC的垂直平分线，相交于点M，则点M可使MAMBMC，抛物线的解析式为，顶点的坐标为（2，8），对称轴为：直线x1
3、，点M的横坐标为：x1，设直线AC的中点为D，点A（3，0），C（0，6），点D的坐标为（，3），设直线AC的关系式为，将点A（3，0），C（0，6）代入得：，解得：，直线AC的解析式为：，则可设线段AC的垂直平分线DE的关系式为，将点D的坐标为（，3）代入得，解得，直线DE的关系式为，当x1时，y（1），点M的坐标为（1，）；（3）如图（2），过点B作BGAC于点G，过点E作EFy轴于点F，抛直线AC的解析式为：，可设直线BG的关系式为，将点B的坐标为（1，0）代入得，解得，直线BG的关系式为，联立得，点G的坐标为（，），BG，CG，在R tBCG中， tanACB，又4tanABE11ta
4、nACB，4tanABE8，即，解得，EF2 BF，设点E的坐标为（e，），则点F的坐标为（e，0），EF，BF，又EF2 BF, 即2,2（）或2（），即0或0，解得e2或e1，e4或e1（与点B重合，舍去），当x4时，y10，当x2时，y6，点E的坐标为（4，10）或（2，6）.2. 在平面直角坐标系中，点，点.已知抛物线（是常数），定点为.（）当抛物线经过点时，求定点的坐标；（）若点在轴下方，当时，求抛物线的解析式；（） 无论取何值，该抛物线都经过定点.当时，求抛物线的解析式.【答案】（）；（）；（）或.【解析】分析：（）把点A（1，0）代入求出m的值，从而确定二次函数解析式，进而求出顶
5、点P的坐标；（）先由函数解析式得出顶点坐标为.再结合已知条件可知，从而求出，.再进行分类讨论得到抛物线解析式为；（）抛物线的顶点的坐标为.由点在轴正半轴上，点在轴下方，知点在第四象限.过点作轴于点，则.可知，即，解得，.当时，点不在第四象限，舍去.抛物线解析式为.（）由 可知，当时，无论取何值，都等于4.得点的坐标为.过点作，交射线于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，则.，. ，.，.可得点的坐标为或.当点的坐标为时，可得直线的解析式为.点在直线上，.解得，.当时，点与点重合，不符合题意，.当点的坐标为时，可得直线的解析式为.点在直线上， .解得（舍），.综上，或.故抛物线解析式为或.点睛
6、：这是一道关于二次函数的综合题. 解题的关键是学会用待定系数法求二次函数关系式以及用分类讨论的思想思考问题.3. （2018省市，题号，分值）如图，已知顶点为C（0，-3）的抛物线y=ax2+b（a0）与x轴交于A、B两点，直线y=x+m过顶点C和点B（1）求m的值；（2）求函数y=ax2+b（a0）的解析式（3）抛物线上是否存在点M，使得MCB=15？若存在，求出点的M坐标；若不存在，请说明理由 【思路分析】（1）将C点坐标代入直线y=x+m中求出m；（2）令y=0，求出B点坐标，利用C点和B点坐标，由待定系数法求出二次函数解析式；（3）15不是特殊角，因此我们考虑OCB度数，若OCB为45
7、或60，则OCM为特殊角，可以利用特殊角求解，而又上一题知OCB为45角，因此只需根据两种情况讨论OCM=30或60时直线CM与抛物线的交点即可.（3）存在，分以下两种情况： 23题答题图当M在B上方时，设MC交x轴于点D，则ODC=45+15=60，OD=OCtan30=，设DC为y=k1x3，将（，0）代入y=k1x3，得k1=，由，解得（舍），所以M1（3，6）；当M在B下方，设MC交x轴于点E，则OEC=4515=30，OE=OCtan60=3，设EC为y=k2x3，将（3，0）代入y=k2x3，可得k2=，由，解得（舍），所以M2（，2），综上所述M的坐标为（3，6）或（，2）4.
8、（2018四川乐山，23，10） 23.已知关于x的一元二次方程（m0）.（1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；（2）若抛物线与x轴交于A（x1,0）、B（x2，0）两点，且，求m的值；（3）若m0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式的值.【思路分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系及抛物线与x轴的交点问题，解题的关键是注意理解相关性质；（1）由于二次项系数m0，故此方程必为一元二次方程，证明此方程的判别式0即可；（2）抛物线与x轴的交点的横坐标即是当y=0时对应一元一元二次方程的两个根，利用因式分解法
9、求出此一元二次方程的两个根，然后，再利用为相等关系列方程即可求解；（3）将（2）中所求的值代入抛物线中，得到抛物线的解析式，再根据点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上，发现P、Q关于对称，得到a与n之间的关系式，代入所求代数式中即可求解.【解题过程】（1）证明：由题意得：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根3分（3）由（2）得，当m0时，m=1.此时抛物线，其对称轴为.8分由题意知，P、Q关于对称.，即.9分10分5. （2018黑龙江绥化，29，10分）已知直线分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线经过点A，和x轴的另一个交点为C.（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点
10、D是抛物线上的动点，且在第三象限，求ABD面积的最大值；（3）如图2，经过点M（-4，1）的直线交抛物线于点P、Q，连接CP、CQ分别交y轴于点E、F，求OEOF的值.备注：抛物线顶点坐标公式（，）【思路分析】（1）首先根据直线求出A点坐标，然后将A点坐标代入抛物线中求出m即可；（2）首先过点D作DH平行于y轴交AB于点H，设D(n，)，H（n，），得出DH的表达式，然后根据DH越大时ABD的面积最大得出答案；（3）首先根据抛物线的方程得出C点坐标，设直线CQ的解析式为y=ax-a，直线CP的解析式为y=bx-b，分别与抛物线方程联立，解出和，然后设直线PQ的解析式为y=kx+d与抛物线方程联
11、立，根据根与系数的关系得出和的值，进而得出ab的值，进而得出OEOF.【解题过程】解：（1）把y=0代入得x=-4，A(-4,0).把点A(-4,0)代入得，抛物线的解析式为.（2）过点D作DH平行于y轴交AB于点H.设D(n，)，H（n，），DH=()-()=，当n=-1时，DH最大，最大值为，此时ABD面积最大，最大值为.（3）把y=0代入，得，C(1,0).设经过点C（1,0）的直线CQ的解析式为y=ax-a，经过点C(1,0)的直线CP的解析式为y=bx-b，解得，同理，Q点的横坐标是2a-4，P点的横坐标是2b-4.设直线PQ的解析式为y=kx+d，把M(-4,1)代入，得y=kx+
12、4k+1，.，解得.又OE=-b，OF=a，OEOF=-ab=.考点（知识点）讲解1、代数式用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。第二十二章 二次函数考点一、二次函数的概念和图像 （38分） 1、二次函数的概念一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数。叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线与坐标轴的交点：学！科网当抛
13、物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。考点二、二次函数的解析式 （1016分）二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：（2）顶点式：（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则
14、不能这样表示。考点三、二次函数的最值 （10分）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，当时，。考点四、二次函数的性质 （614分） 性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，2、二次函数中，的含义：表示开口方向：0时，抛物线开口向上 0时，抛物线
