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1、专题25 平面几何的最值问题例1 提示：当CMAB时，CM值最小，CM 例2 如图，BMMN的最小值为点B到AB的距离BF，BEcm，BBcm，AEcm在ABB中，由BBAEABBF，得BF16cm故BMMN的最小值为16cm 例3 由APDBPQ，得，即BQ，APBQxx，当且仅当x即x时，上式等号成立故当AP时，APBQ最小，其最小值为2b例4 ，49，l1l2，故要选择路线l较短 ，当r时，当r时，当r时， 例5 设DNx，PNy，则Sxy，由APQABF，得即x102y，代入Sxy得Sxyy(102y)，即S2，因3y4，而y不在自变量y的取值范围内，所以y不是极值点，当y3时，S(3
2、)12，当y4时，S(4)8，故Smax12此时，钢板的最大利用率80% 例6 设PDx(x1)，则PC，由RtPCDPAB，得AB，令yABSPAB，则yABPAAB，求y的最小值，有下列不同思路：配方：y，当，即当x3时，y有最小值4运用基本不等式：y3224，当，即当x3时，y有最小值4. 借用判别式，去分母，得x22（1y）x12y0，由4（1y）24（12y）4y（y4）0，得y4，y的最小值为4.A级1. 17 提示：当两张纸条的对角重合时，菱形周长最大. 2. 8 3. 4.D 5. D 6. B 7. C 提示：当点P与点D重合时，四边形ACBP的周长最大. 8. （1）连结M
3、E，过N作NFAB于F，可证明RtEB ARtMNF，得MFAEx.ME2AE2AM2，故MB2x2AM2，即（2AM）2x2AM2，AM1x2，SAD2AMAMMF2 AMAE2（1x2）xx2x2.（2）S（x22 x1）（x1）2.故当AEx1时，四边形ADNM的面积最大，此时最大值为. 9. （1）长为.（2）提示：连结BD. （3）过点B作BMAD于M，由（2）知四边形ABCD为等腰梯形，从而BCAD2 AM2r2 AM.由BAMDAB，得AM，BC2r.同理，EF2 r.l4 x2（2 r）（xr）26 r（0x r）.当xr时，l取得最大值6 r.10. （1）APEADQ，AE
4、PAQD，APEADQ.（2）由APEADQ，PDFADQ，SPEFSPEQF，得SPEFx2x（x）2.故当x时，即P是AD的中点时，SPEF取得最大值，（3）作A关于直线BC的对称点A，连结DA交BC于Q，则这个Q点就是使ADQ周长最小的点，此时Q是BC的中点.11. （1）点P恰好在BC上时，由对称性知MN是ABC的中位线，当MNBC3时，点P在BC上.（2）由已知得ABC底边上的高h4. 当0x3时，如图1，连结AP并延长交BC于点D，AD与MN交于点O.由AMNABC，得AOx，ySPMNSAMNxxx2即yx2.当3时，y的值最大，最大值是3.当3x6时，如图2，设PMN与BC相交
5、于点E，F，AP与BC相交于D.由中知AOx，APx，PDAPADx4，PEFABC.，()2()2，即.SABC12，SPEF（x3）2.ySAMNSPEFx2（x3）2x28x12（x4）24.故当x4时，y的最大值为4.综上，当x4时，y的值最大，最大值为4.B级1.8 8 32 提示：当CABACD90时，四边形ABCD的面积达到最大值. 2. 0r1 提示：设BCa，CAb，ABc，bc2（r1），又bcsin60SABC（abc）r，即bc22（r1）r，. bc4r（r2）. b，c为方程x22（r1）x4r（r2）0的两个根，由0，得（r1）22.因r0，r10，故r12，即0
6、r1. 3. 提示：过P作垂直于OP的弦AB，此时弓形面积最小. 4. 提示：设x，则1x，x2，（1x）2，S梯形DEFG1x22（1x）23（x）2. 5. a提示：当OAOB时，OC的长最大. 6. C 7. （1）由RtABPRtPCQ，得，即，y（x2）21（0x4）.当x2时, y最大值1cm.（2）由（x2）21，得x（2）cm或（2）cm. 8. 当过A，B两点的圆与x轴正半轴相切时，切点C为所求.作ODA B于D.，OD 2 OB 2B D 2ab，OD故点C坐标为（，0）.9. （1）如图，延长CB到L，使BLDN，则RtABLRtADN，得ALAN，12，又N2CNCMD
7、NBMBLBMML，且AMAM，NALDAB90.AMNAML，故MANMAL45. （2）设CMx，CNy，MNz，则，于是，（2yz）2y2z2.整理得2y2（2z4）y（44z）0.y0，故4（z2）232（1z）0，即（z22）（z22）0.又z0，故z22，当且仅当xy2时等号成立.由于SAMNSAMLMLAB MN1，因此，AMN的面积的最小值为1.10. （1）提示：证明ADFBAC.（2）AB15，BC9，ACB90，AC，CFAF6，BC（定值），PBC的周长最小，就是PBPC最小，由（1）知，点C关于直线DE的对称点是点A，所以PBPCPBPA，故只要求PBPA最小显然当P
8、、A、B三点共线时PBPA最小，此时DPDE，PBPAAB由（1），角ADFFAE，DFAACB90，得DAFABCEFBC，得AEBEAB，EF AFBCADAB，即69AD15，AD10RtADF中，AD10，AF6，DF8DEDFFE8当x时，PBC的周长最小，此时y11（1）令k1，得yx2；令k2，得y2x6，联立解得x4，y2，故定点（4，2） （2）取x0，得OB24k（k0），取y0，得OA于是ABO的面积，化简得由得，故S16将S16代入上述方程，得k故当k，S值最小12（1）如图，延长EF交AC于点D，DFBC，RtADFRtACB，AEACx，2x2yxy，两边平方整理得(x22x2)y2(x32x24x)y2x20解得(yx舍去) （2）由（1） 当且仅当，即时，上式等号成立故当时，y去最大值
