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1、温州中学2011学年第一学期期末考试高三数学试卷（理科）一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若，其中，是虚数单位，则 （ ）A-3 B-2 C2 D32的展开式中，的系数为 （ ）A-10 B-5 C5 D10 3使不等式成立的充分不必要条件是 （ ）A B C D ，或4某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值为（ ） A102 B410 C614 D16385设是三个不重合的平面，是不重合的直线，下列判断正确的是 （ ）A若则 B若则C若则 D若则6已知，且，则为（ ）A. B. C. D. 7已知双曲线：，左右焦点分
2、别为，过的直线交双曲线左支于两点，则的最小值为（ ）A. B. 11 C.12 D.16 8已知不等式对于，恒成立，则实数的取值范围（ ）A B C D 9设等差数列的前项和为,若,则满足的正整数的值为（ ） A.10 B.11 C.12 D. 1310在平面直角坐标系中，映射将平面上的点对应到另一个平面直角坐标系上的点，则当点沿着折线运动时，在映射的作用下，动点的轨迹是（ ） 二、 填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。11一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个球，则其中含红球个数的数学期望是 .12已知点是抛物线上的点，则以点为切点的抛物线的切线方程为 .13
3、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .14已知直线上个点最多将直线分成段，平面上条直线最多将平面分成部分（规定：若则），则类似地可以推算得到空间里个平面最多将空间分成 部分15若函数在区间为整数）上的值域是，则满足条件的数对共有 对；16【原创】已知，点是线段上的一点，且，则的取值范围是 .17若沿三条中位线折起后能拼接成一个三棱锥，则称为“和谐三角形”。设三个内角分别为、，则下列条件中能够确定为“和谐三角形”的有 . （请将符合题意的条件序号都填上）； ； 。学号班级姓名 密封线 温州市2011学年高三期末考试数学试卷（理科） 答题卷 一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，
4、共50分)12345678910二、填空题：(本大题共7小题，每小题4分，共28分把答案填在横线上) 11 ， 12 ， 13 ， 14 ， 15 ， 16 ，17 三、解答题（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18（本题满分共14分）已知， 且.（1）求；（2）当时，求函数的值域.19（本题满分共14分）已知数列，且，（1）若成等差数列，求实数的值；（2）数列能为等比数列吗？若能，试写出它的充要条件并加以证明；若不能，请说明理由。20（本题满分共14分）如图，几何体为正四棱锥，几何体为正四面体.（1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值.21（本题满分共15分
5、）已知抛物线的焦点F到直线的距离为（1）求抛物线的方程；（2）如图，过点F作两条直线分别交抛物线于A、B和C、D，过点F作垂直于轴的直线分别交和于点.求证：22（本题满分共15分）已知函数（1）当时，试判断函数的单调性；（2）当时，对于任意的，恒有，求的最大值参考答案：一：选择题。1.D 2.D 3.C 4.B 5.B 6.D 7.B 8.A 9.C 10.A二：填空题。11. 12. 13. 14. 15.4025 16. 三：解答题。18.解：（1）因为，所以，又，故（2）由（1）得， 所以 因为，所以即，即 因此，函数的值域为19. 解.（），因为，所以，得（）方法一：因为，所以，得：，
6、故是以为首项，-1为公比的等比数列，所以，得：为等比数列为常数，易得当且仅当时，为常数。方法二：因为，所以，即，故是以为首项，-2为公比的成等比数列，所以，得：（下同解法一）方法三：由前三项成等比得，进而猜测，对于所有情况都成立，再证明。20. （1）解法一:取的中点，连结，由几何体为正四面体得，所以平面，从而.连结交于点,连结得平面,，所以平面，从而.又所以平面，从而.解法二: 因为几何体为正四棱锥，几何体为正四面体.故可设取的中点，连结，由题意知故是二面角的平面角， 是二面角的平面角,在中，所以，在中，所以从而，从而四点共面，故四边形为菱形，从而（2）由解法二知四边形为菱形，于是，所以点到
7、平面的距离等于点到平面的距离，设点到平面的距离为，由得：进而得，所以与平面所成角的正弦值解法三：如图，以OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系。不妨设|OB|=1，则B(1,0,0)，C(0,1,0)， D(-1,0,0)，A(0,-1,0) 因为为正四面体，所以为正三角形，所以，所以，因此P(0,0,1)。设的重心为M，则面PCB，又也为正三棱锥，因此面PCB，因此O、M、Q三点共线，所以OQ垂直面PCB，即是平面PCB的一个法向量，由，易得平面PCB的一个法向量可以取，所以不妨设Q(a,a,a)，则，因为解得a=1，所以Q(1,1,1)。（1），所以；（2）设面PAD的一个法
8、向量为，由解得一个法向量，所以，所以QD与平面PAD所成角的正弦值为。21 解：（1）焦点，由已知得，且，解得，故所求抛物线的方程为.（2）设直线的方程为：，直线的方程为：，令将两条直线的方程代入抛物线方程得：于是有： ，同理得： ，故 ，同理所以直线的方程为：， 直线的方程为：， 将代入式得：将代入式得：所以，即22解：（1）当时，故在区间，上单调递增，在上单调递减；当时，故在区间，上单调递增，在上单调递减；当时，恒有，当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在区间上单调递增当时，在，上单调递增，在上单调递减；（2）解法一：设函数，即在上恒成立。即为的最小值。故在区间上单调递减，在区间单调递增。故，解法二：即与点连线斜率的最小值在时取到。设则，即，又，故
