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1、专题23 圆与圆的位置关系【阅读与思考】 两圆的半径与圆心距的大小量化确定圆与圆的外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系.圆与圆相交、相切等关系是研究圆与圆位置关系的重点，解题中经常用到相关性质. 解圆与圆的位置关系问题，往往需要添加辅助线，常用的辅助线有：1.相交两圆作公共弦或连心线；2.相切两圆作过切点的公切线或连心线；3.有关相切、相离两圆的公切线问题常设法构造相应的直角三角形.熟悉以下基本图形和以上基本结论.【例题与求解】【例1】 如图，大圆O的直径cm，分别以OA，OB为直径作O1和O2，并在O与O1和O2的空隙间作两个等圆O3和O4，这些圆互相内切或外切，则四边形的面积为_cm2
2、. （全国初中数学竞赛试题） 解题思路：易证四边形为菱形，求其面积只需求出两条对角线的长. 【例2】 如图，圆心为A，B，C的三个圆彼此相切，且均与直线相切.若A，B，C的半径分别为，（），则，一定满足的关系式为（ ）A. B.C. D.（天津市竞赛试题） 解题思路：从两圆相切位置关系入手，分别探讨两圆半径与分切线的关系，解题的关键是作圆的基本辅助线. 【例3】 如图，已知两圆内切于点P，大圆的弦AB切小圆于点C，PC的延长线交大圆于点D.求证：（1）APD=BPD；（2）. （天津市中考试题） 解题思路：对于（1），作出相应辅助线；对于（2），应化简待证式的右边，不妨从ACBC=PCCD入手
3、. 【例4】 如图O1和O2相交于点A及B处，O1的圆心落在O2的圆周上，O1的弦AC与O2交于点D.求证：O1DBC.（全俄中学生九年级竞赛试题） 解题思路：连接AB，O1B，O1C，显然O1BC为等腰三角形，若证O1DBC，只需证明O1D平分B O1C.充分运用与圆相关的角. 【例5】 如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD=1,AB=2，DC=，点P在边BC上运动（与B，C不重合）.设PC=，四边形ABPD的面积为.（1）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）若以D为圆心，为半径作D，以P为圆心，以PC的长为半径作P，当为何值时，D与P相切？并求出这两圆相切时四
4、边形ABPD的面积. （河南省中考题） 解题思路：对于（2），P与D既可外切，也可能内切，故需分类讨论，解题的关键是由相切两圆的性质建立关于的方程. 【例6】 如图，ABCD是边长为的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P，延长AP交BC于点N，求的值. （全国初中数学联赛试题） 解题思路：AB为两圆的公切线，BC为直径，怎样产生比例线段？丰富的知识，不同的视角激活想象，可生成解题策略与方法. 【能力与训练】A 级1.如图，A，B的圆心A，B在直线上，两圆的半径都为1cm.开始时圆心距AB4cm，现A，B同时沿直线以每秒2cm的速度相向移动，则当两圆相切时，A运动
5、的时间为_秒.（宁波市中考试题）2.如图，O2是O1上任意一点，O1和O2相交于A，B两点，E为优弧AB上的一点，EO2及延长线交O2于C，D，交AB于F，且CF1，EC2，那么O2的半径为_.（四川省中考试题）（第1题图） （第2题图） （第3题图）3.如图，半圆O的直径AB4,与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M.设O1的半径为，AM的长为，则与的函数关系是_.（要求写出自变量的取值范围）（昆明市中考试题）4.已知直径分别为和的两个圆，它们的圆心距为，这两圆的公切线的条数是_.5.如图，O1和O2相交于点A，B，且O2的圆心O2在圆O1的圆上，P是O2上一点.已知A O1B60，那么APB
6、的度数是（ ） A.60 B.65 C.70 D.75（甘肃省中考试题）6.如图，两圆相交于A、B两点，过点B的直线与两圆分别交于C，D两点.若O1半径为，O2的半径为2，则AC：AD为（ ） A. B. C. D.（第5题图） （第6题图） （第7题图）7.如图，O1和O2外切于点T，它们的半径之比为3:2，AB是它们的外公切线，A，B是切点，AB，那么O1和O2的圆心距是（ ） A. B.10 C. D.8.已知两圆的半径分别为R和（），圆心距为.若关于的方程有两相等的实数根，那么这两圆的位置关系是（ ） A.外切 B.内切 C.外离 D.外切或内切 （连云港市中考试题）9. 如图，O1与
7、O2相交于A，B两点，点O1在O2上，点C为O1中优弧上任意一点，直线CB交O2于D，连接O1D.（1）证明：DO1AC；（2）若点C在劣弧上，（1）中的结论是否仍成立？请在图中画出图形，并证明你的结论. （大连市中考试题） 图1 图210.如图，已知O1与O2外切于点P，AB过点P且分别交O1和O2于点A，B，BH切O2于点B，交O1于点C，H.（1）求证：BCPHAP；（2）若AP:PB3：2，且C为HB的中点，求HA:BC.（福州市中考试题） 11.如图，已知B，C的半径不等，且外切于点A，不过点A的一条公切线切B于点D，切C于点E，直线AFDE，且与BC的垂直平分线交于点F.求证：BC
8、2AF. （英国数学奥林匹克试题） 12.如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点.正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过ABC得内切圆圆心O，且点E在半圆弧上.（1）若正方形的顶点F也在半圆弧上，求半圆的半径与正方形边长的比；（2）若正方形DEFG的面积为100，且ABC的内切圆半径，求半圆的直径AB. （杭州市中考试题） B 级1.相交两圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长为6cm，这两圆的圆心距为_.2.如图，O过M点，M交O于A，延长O的直径AB交M于C.若AB8，BC1，则AM_.（黑龙江省中考试题） （第2题图） （第3题图） （第4题图）3.已知圆环内直径为cm，外
9、直径为cm，将50个这样的圆环一个接着一个环套环地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为_cm.4.如图，已知PQ10，以PQ为直径的圆与一个以20为半径的圆相切于点P.正方形ABCD的顶点A，B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q.若AB，其中，为整数，则_.（美国中学生数学邀请赛试题）5.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点M，且分正方形为4个三角形，O1，O2，O3，O4，分别为AMB，BMC，CMD，DMA的内切圆.已知AB1.则O1，O2，O3，O4所夹的中心（阴影）部分的面积为（ ） A. B. C. D. （太原市竞赛试题） （第5题图） （第6题图） （第7题
10、图）6.如图，O1与O2内切于点E，O1的弦AB过O2的圆心O2，交O2于点C，D.若AC：CD:BD2:4:3，则O2与O1的半径之比为（ ） A.2:3 B.2:5 C.1:3 D.1:47.如图，O1与O2外切于点A，两圆的一条外公切线与O1相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则O1与O2的半径之比为（ ） A.2:5 B.1:2 C.1:3 D.2:3（全国初中数学联赛试题）8.如图，已知O1与O2相交于A，B两点，过点A作O1的切线，交O2于点C，过点B作两圆的割线分别交O1，O2于点D，E，DE与AC相交于点P.（1）求证：（2）当AD与O2相切且PA6，PC2，PD12时，求AD的长. （黄冈市中考试题）9.如图，已知O1和O2外切于A，BC是O1和O2的公切线，切点为B，C.连接BA并延长交O1于D，过D点作CB的平行线交O2于E，F.（1）求证：CD是O1的直径；（2
