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1、专题05 一元二次方程的整数根例1 当k=4时，x=1；当k=8时，x=-2；当k4且k8时，可得k=6或k=4,6,8或12例2 C 例3 C 提示：方程变形为关于x的二次方程，且是完全平方数，得,.例4 若，则不是整数；，设方程的两根为，则，于是有，解得或则或.例5由得,即,时,方程有实数解.由于必须是完全平方数,而完全平方数的末位数字可能为0,1,4,5,6,9,故仅可取25,此时或, ,故所求的四位数为2025或3025.例6解法一:因的次数较低,故将方程整理为关于的一次方程,得,显然,于是,是正整数,即,化简得,解得.当时, 是正整数,故的值为1,3,6,10.解法二:为完全平方数,
2、故为奇数的平方.令,是正整数,则,于是,原方程可化为,即,解得,或得或,故的值位1,3,6,10.A级 1. 3 994 2. 1 3. 1 4. 1 984 5. D 6. B 7. C 8.D9.当时，则，即为所求；时,则,得,由此可得. 10. 提示:方程,方程根为,注意讨论.11. 12.由韦达定理，得，为正整数.由得,即,故,得，代入，即只有满足条件.B级 1. 98 2. 49,32,27,25,24,-25,8,-3,-1,0. 3. 5 提示:当时,解得.当时,解得.当时,解得.当时,是整数，这时；当时，是整数，这时.综上所述, 时,原方程的解为整数. 4. 提示:将原方程整理
3、为关于的二次方程,讨论枚举.5. 1,3,5 提示:,. 6. -2,或-67. A 提示:与时方程的两个不相等的实数根.8. C9. 解得，故，消去得，即，求得.10.设两连续正偶数为,则有,即,为有理数,则为完全平方数,令,也即,于是得,或解得或,相应的方程的解为或与或.总之,当或 时, 恰为两个整数8或10,或者46或48的乘积.11. 令(为非负数),即.且奇偶性相同,则, , , , ；消去分别得：，对于第1、3种情形，对于第2、5种情形，（不合题意，舍去）；对于第四种情形，为合数（舍去）.又当时，方程为.12. (1),则是一元二次方程的两根,故, 即, 又 且为整数, 则,. (2)由条件得,又 原方程只有一组解,当时, 符合条件,此时；当时，解得，即， ，符合条件，此时=1。综上知：k=0，x=0，y=1或k=1，x=1，y=-1。
