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1、二面角DPCAB1.如图三棱锥 P-ABC中，PC平面ABC，PC = ，D是 BC的中点，且ADC是边长为 2的正三角形，求二面角 P-ABC的大小。解 EDBASC 2.如图在三棱锥 S-ABC中，SA底面ABC，ABBC，DE 垂直平分SC，且分别交 AC、SC于D、E，又SA =AB，BS =BC， 求以BD为棱，BDE与BDC为面的二面角的度数。解： 3. 如图：ABCD是矩形，AB =8，BC =4，AC 与 BD 相交于O点，P是平面 ABCD外一点，PO面ABCD，PO =4，M 是 PC 的中点，求二面角 M-BD-C 大小。SRNMOBDPAC解： DBAEC 4.如图AB
2、C与BCD所在平面垂直，且AB =BC =BD，ABC =DBC =，求二面角 A-BD-C的余弦值。解： 5.已知正方体 AC，M、N分别是BB，DD的中点，求截面 AMCN与面ABCD，CCDD所成的角。DBDACBACMN解： BFEACD6.如图 AC面BCD，BD面ACD，若AC =CD =1，ABC =30，求二面角的大小。解： 7. 三棱锥 A-BCD中，BAC =BCD =90，DBC =30，AB =AC =，AD =4，求二面角 A-BC-D 的度数。DOABC解： 9. 如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为a的菱形，A60，PC平面ABCD，PCa,E是PA的中点.(
3、1)求证平面BDE平面ABCD.(2)求点E到平面PBC的距离.(3)求二面角AEBD的平面角大小.解析： 10. 如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E、F分别在棱AB、BC上，G在对角线BD1上，且AE，BF，D1GGB12，求平面EFG与底面ABCD所成的二面角的大小. 11. 如图，设ABCA1B1C1是直三棱柱，E、F分别为AB、A1B1的中点，且AB2AA12a,ACBCa.(1)求证：AFA1C(2)求二面角CAFB的大小 12如图是长方体，AB=2，求二平面与所成二面角的大小 13. 在正方体中，且，.求：平面AKM与ABCD所成角的大小14. 如图，将边长为a
4、的正三角形ABC按它的高AD为折痕折成一个二面角（1）若二面角是直二面角，求的长；（2）求与平面所成的角；（3）若二面角的平面角为120，求二面角的平面角的正切值参考答案DPCAB解：由已知条件，D是BC的中点 CD =BD =2 又ADC是正三角形 AD =CD =BD =2 D是ABC之外心又在BC上 ABC是以BAC为直角的三角形， ABAC， 又 PC面ABC PAAB (三垂线定理) PAC即为二面角 P-AB-C之平面角， 易求 PAC =30EDBASC2、解： BS =BC，又DE垂直平分SC BESC，SC面BDE BDSC，又SA面ABC SABD，BD面SAC BDDE，
5、且BDDC 则 EDC就是所要求的平面角 设 SA =AB =a， 则 BC =SB =a 且 AC = 易证 SACDEC CDE =SAC =603、SRNMOBDPAC解：取OC之中点N，则 MNPO PO面ABCD MN面ABCD 且 MN =PO/2 =2， 过 N 作 NRBD 于 R，连MR， 则 MRN即为二面角 M-BD-C的平面角 过 C 作 CEBD于S 则 RN =CE 在 RtBCD中，CDBC =BDCE 4. 解：过 A作 AECB的延长线于E， 连结 DE， 面ABC面BCD AE面BCD E点即为点A在面BCD内的射影 EBD为ABD在面BCD内的射影 设 A
6、B =a 则AE =DE =ABsin60= AD = ， sinABD = 又 5. DBDACBACMN解：设边长为a，易证 ANCN是菱形 且MN =，AC = AMCN = 由于AMCN在面ABCD上的射影即为正方形ABCD ABCD = 取CC的中点M，连结DM 则平行四边形DMCN是四边形AMCN在CCDD上的射影， DMCM = 6. BFEACD解：作DFAB于F，CEAB于E， AC =CD =1 ABC =30 AD =，BC = ， AB =2， BD = 在RtABC中， ， 同理 即所求角的大小为。DOABC7、解：由已知条件BAC =90，AB =AC， 设BC的中
7、点设为O，则OA =OC =BC = 解之得： 9、解析：(1)设O是AC，BD的交点，连结EO.ABCD是菱形，O是AC、BD的中点，E是PA的中点，EOPC，又PC平面ABCD，EO平面ABCD，EO平面BDE，平面BDE平面ABCD.(2)EOPC，PC平面PBC，EO平面PBC，于是点O到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离.作OFBC于F，EO平面ABCD，EOPC，PC平面PBC，平面PBC平面ABCD，于是OF平面PBC，OF的长等于O到平面PBC的距离.由条件可知，OB,OFa，则点E到平面PBC的距离为a.(3)过O作OGEB于G，连接AG OEAC，BDAC AC平面B
8、DEAGEB(三垂线定理) AGO是二面角AEBD的平面角OEPCa,OBa EBa.OGa 又AOa.tanAGOAGOarctan.评析 本题考查了面面垂直判定与性质，以及利用其性质求点到面距离，及二面角的求法，三垂线定理及逆定理的应用.10、设G在底面ABCD上的射影为H，HBD，GH作HMEF于M，连GM，由三垂线定理知GMEF，则GMH就是平面BFG与底面ABCD所成的二面角的平面角，tan.下面求HM的值.建立如图所示的直角坐标系，据题设可知.H(，)、E(，0)、F(1，)直线EF的方程为，即 4x-6y-10.由点到直线的距离公式可得HM，tg，arctg.说明 运用解析法来求
9、HM的值是本例的巧妙所在.11、分析 本小题考查空间几何垂直的概念和二面角的度量等知识.解 (1)ACBC，E为AB中点，CEAB又ABCA1B1C1为直棱柱，CE面AA1BB连结EF，由于AB2AA1AA1FE为正方形AFA1E，从而AFA1C(2)设AF与A1E交于O，连结CO，由于AFA1E，知AF面CEA1COE即为二面角CAFB的平面角AB2AA12a,ACBCaCEa,OEa,tanCOE2.二面角CAFB的大小是arctan2.12、解析：平面ABCD平面，平面与平面的交线l为过点且平行于AC的直线直线l就是二平面与所成二面角的棱又平面，过作AHl于H，连结AH则为二面角的平面角可求得因此所求角的大小为或14、解析：（1）若，AC=a，（2），ADDC，AD平面为与平面所成的角，在Rt中，于是（3）取的中点E，连结AE、DE，AED为二面角的平面角，在RtAED中，- 11 -
