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1、辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若，则有（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用特殊值，比较的大小，由此得出正确选项.【详解】令，则，所以.故选A.【点睛】本小题主要考查利用特殊值法比较数的大小，属于基础题.2.已知命题：“，都有成立”，则命题为（ ）A. ，有成立 B. ，有成立C. ，有成立 D. ，有成立【答案】D【解析】试题分析：全称量词的否定为存在量词，命题的否
2、定只否定结论，的否定为考点：逻辑连接词3.已知各项均为正数的等比数列中，公比，则（ ）A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C【解析】【分析】将已知条件转化为的形式，解方程求得的值.【详解】由于数列为等比数列，依题意得，由于数列每一项都是正数，故.故选C.【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等比数列的基本量、通项公式和前项和.基本元的思想是在等比数列中有个基本量，利用等比数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.4.若是可导函数，则“，”是“内单调递增”的（ ）A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件
3、 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据导数与单调性的相互关系，判断出正确选项.【详解】当导数在区间内大于零时，函数在区间内单调递增.当函数在区间内单调递增时，导数.由此可以判断出“，”是“内单调递增”的充分但不必要条件.故选A.【点睛】本小题主要考查函数导数与单调性的相互关系，导数大于零时，函数单调递增；函数单调递增时，导数是非负数.属于基础题.5.在下列各函数中，最小值等于2的函数是（ ）A. B. （） C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据利用基本不等式求最小值的方法，对四个选项逐一分析，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，由于可以取负数，故最小值不为，A选项错
4、误.对于B选项，但是在区间上不成立，即基本不等式等号不成立，故B选项错误.对于C选项，但是无实数解，即基本不等式等号不成立，故C选项错误.对于D选项，当且仅当时，等号成立，故选D.【点睛】本小题主要考查基本不等式的知识和应用，考查基本不等式“一正，二定，三相等”的要求，属于基础题.一正，即利用基本不等式，要确保为正数.二定是指基本不等式求得的结果为定值，不能含有变量.三相等是指等号成立的条件，也即当且仅当时，取得等号.6.方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】B【解析】【分析】先求得方程表示双曲线时的取值范围，然后利用充分、必要条件的知识得出正确选项.
5、【详解】由于原方程表示双曲线，故，解得或，四个选项中，是前者的真子集为，故本小题选B.【点睛】本小题主要考查二元二次方程表示双曲线的条件，考查充分不必要条件的判断，属于基础题.7.已知实数满足约束条件，则的最小值为（ ）A. B. C. 8 D. 10【答案】D【解析】【分析】画出约束条件对应的可行域，目标函数表示可行域内的点和点之间连线的距离的平方，利用两点间的距离公式求得目标函数的最小值.【详解】画出约束条件对应的可行域，目标函数表示可行域内的点和点之间连线的距离的平方，由图可知，点到的距离最小，此时距离为，故的最小值为，故选D.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求两点间距离型目标函数的最
6、小值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是画出目标函数对应定点的位置；接着连接定点和可行域内的点，判断出取得最小值的边界位置；然后利用两点间的公式计算出两点间的距离，两边平方后求出目标函数的最小值.属于基础题.8.等差数列、的前项和分别为和，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质和等差数列的前项和公式，化简所求的表达式为的形式，由此求得表达式的值.【详解】根据等差数列的性质和等差数列的前项和公式得，原式 .故选B.【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列的前项和公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题
7、.9.已知等差数列的前项和为，则的极大值为（ ）A. B. 3 C. D. 2【答案】A【解析】【分析】根据等差数列前项和公式的特点，求得的值，利用导数求得函数的单调区间，进而求得函数的极大值.【详解】由于等差数列前项和公式中，常数项为，故，故函数在上递增，在上单调递减，故当时取得极大值为.故选A.【点睛】本小题主要考查等差数列前项和公式的特点，考查利用导数求函数的单调区间以及极大值.等差数列前项和公式，可以变形为，这是一个没有常数项的表达式.利用导数求极大值，要先求得函数的单调区间，然后根据先增后减来求得.10.过抛物线：的焦点的直线交抛物线于、两点，以线段为直径的圆的圆心为，半径为，点到的
8、准线的距离与之积为25，则（ ）A. 50 B. 40 C. 30 D. 20【答案】B【解析】【分析】由于直线经过抛物线的焦点，根据抛物线的定义可知圆和准线相切，圆心到准线的距离等于半径.由此求得的值，利用抛物线过焦点弦长公式，求得的值，进而求得的值.【详解】由于直线经过抛物线的焦点，根据抛物线的定义可知圆和准线相切，圆心到准线的距离等于半径，即，根据抛物线过焦点弦长公式有.故.【点睛】本小题主要考查过抛物线焦点的弦长有关问题，考查圆的几何性质以及抛物线的定义，属于中档题.11.数列的前项和为，且，若，则的最大值为（ ）A. 10 B. 15 C. 18 D. 26【答案】C【解析】【分析】
9、由已知条件求出数列的通项公式，根据数列特征求出最值【详解】,，数列为等差数列，首项为，,在数列中只有,为正数的最大值为故选【点睛】本题主要考查了求数列的通项公式，并结合数列特征求和的最值问题，在解答时注意对已知条件的转化和运用，得到新数列为等差数列，继而求出通项公式12.函数是定义在区间上可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数，求得的导函数，结合题目所给条件，得到的单调性，由此求得不等式的解集.【详解】构造函数，依题意可知，当时，故函数在上为增函数.由于，故所求不等式可化为，所以，解得.故选B.【点睛】本小题主要考查构造函
10、数法求函数的单调区间，考查利用单调性解不等式，属于中档题.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是_【答案】【解析】【分析】根据不等式的解集，求得的值，由此求得不等式的解集.【详解】由于不等式的解集是，所以且，故.所求不等式可化为，即，解得.【点睛】本小题主要考查一元一次不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，属于基础题，解题过程中要注意正负号的影响.14.已知数列的前项和为，则_【答案】【解析】【分析】利用数列的通项与前项和的关系：求解【详解】由知，当时,，得：.【点睛】考查数列的通项与前项和之间的关系，求通项，是求数列通项的一
11、种重要方法15.已知函数在时有极值，则_【答案】11【解析】试题分析：因为，所以，所以，解得或，当时，函数，则，函数在单调递增，函数无极值，所以 考点：利用导数研究函数的极值【方法点晴】本题主要考查了利函数在某点取得极值的性质，其中解答中涉及到了应用导数研究函数的单调性与极值、函数的极值的性质等知识点的考查，利用导数研究函数的极值时，若函数子啊取得极值，反之结论不成立，即函数由，函数在该点不一定是极值点（还得加上两侧的单调性的改变），防止错解，属于基础题16.已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使得，则该椭圆的离心率的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据焦半径公式，化简，利用椭圆的
12、取值范围列不等式并转化为只含有的不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】根据焦半径公式，化简得，解得，根据椭圆横坐标的取值范围，得，不等式同时除以化为.解得.即离心率的取值范围为.【点睛】本小题主要考查求解有关椭圆离心率的问题，考查不等式的解法，属于中档题.三、解答题 （本大题共6题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.设命题：实数满足，其中，命题：实数满足.（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，求得不等式的解集.求得不等式组的解集，根据为真，得到均为真命题，对两个不等式的解集求交集
13、，求得实数的取值范围.（2）由（1）得到不等式组的解集，求得不等式的解集，将“是的充分不必要条件”转化为“是的充分不必要条件”，根据充分不必要条件的知识列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】解：（1）由得又，所以，当时，不等式的解集为，即命题为真命题时，实数的范围是由解得，即命题为真，则实数的范围为又为真，所以所求范围为（2）若是的充分不必要条件 是的充分不必要条件设，则实数满足，所以实数的取值范围是.【点睛】本小题主要考查含有参数的一元二次不等式的解法，考查含有简单逻辑联结词命题真假性的有关知识，考查充分不必要条件的知识，属于中档题.18.已知等差数列的前n项和为，且，（1）求；（2
14、）设数列的前n项和为，求证：【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）设公差为，由，可得解得，从而可得结果；（2） 由（1），则有，则，利用裂项相消法求解即可.【详解】（1）设公差为d，由题解得，所以 （2） 由（1），则有则所以 【点睛】本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.19.已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点）.（1）求证：直线恒过定点；（2）直线在绕着定点转动的过程中，求弦中点的轨迹方程.【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）设出两点的坐标，代入，设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，消去，利用韦达定理求得直线过定点.（2）设出三点的坐标，利用点差法求得三个坐标之间的关系，利用（1）的结论化简得中点的轨迹方程.
