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1、第一章 空间几何体,人教版必修2,祖暅原理与空间几何体体积,河北定州中学 刘金凤,问题1长方体的长、宽、高分别是a、b、c，那么它的体积是什么？ 能否用另外一种形式来表示长方体的体积呢？,问题2改变一下形状，底面积和高有没有改变？ 如果用一个平行于水平面的平面去截这堆书，这些水平截面的面积有什么关系？ 体积有没有改变？ 从这个事实中你得到什么启发？,1 .高度相同,2.同一层上每页纸大小(面积)一样,3.每层与放作业本的桌面平行,知道它们前后的体积相等的条件为:,祖暅的介绍：,祖暅是南北朝时代著名数学家祖冲之的儿子。受家庭的 影响，尤其是父亲的影响，他从小对数学具有浓 厚的兴趣。祖冲之除了在计
2、算圆周率方面的成就，还与 他的儿子祖暅一起，用巧妙的方法解决了柱体，锥体， 球体的体积计算。他们当时采用的原理，在西方被称为 “卡瓦列利”原理，但这是在祖氏父子以后一千多年才由 意大利数学家卡瓦列利发现的。为了纪念祖氏父子的 这一伟大发现，数学上也称这个原理为“祖暅原理”。,祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面(阴影部分)的面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等。,祖暅(gng)原理：幂势既同，则积不容异。,应用祖暅原理可以说明：等底面积、等高的两个柱体或椎体的体积相等.,探究点一 柱体的体积计算公式,设有底面积都等于S，高都等于h的任意一
3、个棱柱、一个圆柱和一个长方体，使它们的下底面在同一个平面内（如图）,用平行于底的的平面截柱体，截面面积相等吗？为什么？,棱柱、圆柱的截面性质:平行于底面的截面与底面全等.,问题3,定理 柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底 面 积s和高h的积。,推论 底面半径为r，高为h圆柱的体积是 V圆柱= r2h,V柱体= sh,由祖暅原理可知：等底面积等高的任意两个柱体的体积 相等，而长方体的体积为V长方体= sh，所以与长方体等底面积等高的棱柱、圆柱有如下定理：,问题4长方体的体积计算公式能否推广到一般的棱柱（圆柱）体积的计算呢？,总结,柱体体积公式及其探索思路？,柱体的体积公式柱体,长方体,+,等底面
4、积等高的任意两个柱体的体积相等,柱体的代表,探究点二 锥体的体积计算公式,问题5：两个底面积相等、高也相等的棱锥（圆锥）的体积之间有怎样的关系呢？为什么？,锥体体积公式及其探索思路？,锥体的体积公式锥体?,?,+,等底面积等高的任意两个锥体的体积相等,锥体的代表,探究点二 锥体的体积计算公式,B,A,B,问题6：三棱柱分割成三个三棱锥,他们三个的体积相等吗？为什么？,总结,锥体体积公式,锥体的体积公式锥体?,三棱锥,+,等底面积等高的任意两个锥体的体积相等,锥体的代表,总结提升：,问题7：你能根据锥体的体积计算公式推导台体的体积计算公式吗？,设棱台上底面积为S，下底面积为S，高为h，大棱锥的高
5、为h1，小棱锥的高为h2，则,两个底面积相等、高也相等的棱台（圆台）的体积,相等,圆台 h,探究点三 台体的体积计算公式,问题8：柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？,S为底面面积，h为柱体高,S，S分别为上、下底面面积，h 为台体高,S为底面面积，h为锥体高,反思感悟,例1：如图，在长方体 中，截下一个棱锥 ,求棱锥的体积与剩余部分的体积之比。,长方体可以看成直四棱柱,解：,设它的底面,面积为S，高为h，,则它的体积为,因为棱锥,的底面面积为,高是h,所以棱锥,的体积,余下的体积,所以体积比为,学以致用,实验:,给出如下几何模型,探究点四 球体的体积计算公式,步骤,拿出圆锥 和圆柱,将
6、圆锥倒立放入圆柱,结论:截面面积相等,则两个几何体的体积相等,取出半球和新的几何体做它们的截面,例、下图是一个奖杯的三视图(单位:cm),试讲出它由那些几何体构成,并计算这个奖杯的体积(精确到0.01cm)。,学以致用,画出奖杯的水平直观图,学以致用,并计算体积,练习2.有一堆形状规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg，已知底面六边形边长为12mm，高为10mm，内孔直径是10mm，那么约有毛坯多少个？（铁的比重是7.8 g/cm3）,解：,六角螺帽的体积V是一个正六棱柱的体积V1与一个圆柱的 体积V2的差,所以一个毛坯的体积为,约有毛坯,（个）,答：这堆毛坯约有250个,学以致用,1、本节课你学到了哪些数学知识？,2、本节课你能感受到哪些数学思想？,课堂小结：,1.柱体、锥体、 台体的体积,锥体,台体,柱体,3.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱、锥、台、球等常见的几何体的体积和.,2.球的体积公式,4. 化归思想、极限思想.,反思提升：,多面体和圆柱，圆锥，圆台的表面积我们可以用展开几何体的方式得到，球能展开吗？你能否用我们今天学到的球的体积公式得到球的表面积公式呢？,谢谢,
