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1、1投资战略问题吴先兵武昌理工学院摘要本文通过对投资质询公司在设置限制各种投资数额、引入风险承受能力指数等约束条件下，如何设置投资分配方案使得年总收益最大的问题，给出评价和解决方案，为投资者提供一个合理、有价值的投资。针对问题一，如何将 800000 美元投资这三种资金，使其年收益最大，需要考虑基金的投资限额和风险指数，建立线性规划模型，运用 MATLAB 软件求解，各基金投资额见表二。针对问题二，在其他条件不变情况下，客户的风险承受指数提高到0.055，投资计划改变后，运用问题一的模型及 MATLAB 软件求解，各项基金投资额见表四，总收益为 98800 美元，总收益将增加 4667 美元。针
2、对问题三，在其他条件不变情况下，客户的风险承受指数为 0.05 不变，股票成长基金的年收益率从 18%降到 14%，如何安排最佳投资方案，同样采用问题一中的线性规划模型，运用 MATLAB 软件求解，最佳投资方案见表六。针对问题四，在其他条件不变情况下，增加一个约束条件即投资于股票增长基金的资金不可以超过投资于收入基金的资金，如何安排新的最佳投资方案，同样采用问题一线性规划模型，运用 MATLAB 软件求解，最佳投资方案见表八。针对问题五，当遇到预期变化时，可理解为收益率变化时，且在一定范围变化时，所建立的线性规划模型的最优解即即对新的最优投资方案作出修改，仍可以采用问题一线性规划模型，并运用
3、 LINGO 软件对问题中的预期收益做敏感性分析，得出三种基金的投资范围见表十一。关键词：投资分配 线性规划 敏感性分析一、问题重述J.D 威廉姆斯公司是一个投资质询公司，为大量的客户管理高达1.2 亿美元的资金。公司用一个很有价值的模型，为每个客户安排投资，分别投资在股票增长基金、收入基金和货币市场基金。为了保证客户投资的多元化，公司对这三种投资的数额加以限制。一般来说，投资在股票方面的资金占总投资20%-40%之间，投资在收入基金上的资金应确保在20%-50%间，货币市场方面的投资至少应该占30%。此外，公司还尝试着引入了风险承受能力指数，以合不同投资者的需求。比如，威廉姆斯的一位新客户希
4、望投资800000美元。对其风险承受能力进行评估得出其风险指数为0.05。公司的风险分析人员计算出，股票市场的风险指数0.10，收入基金的风险指数是0.07，货币市场的风险指数是0.01。整个投资风险指数是各项投资所占总投资的百分率与其风险指数乘积的代数和。2此外公司预测，股票基金的年收益率是18%，收入基金的收益是12.5%，货币市场基金的益是7.5%。现在，基于以上信息，公司应该如何安排这位客户的投资呢？建立数字模型，求出使总收益最大的解，并根据模型写出管理报告。1、如何将800000美元投资于这三种基金。按照你的计划，投资的年收益是多少？2、假设客户的风险承受指数提高到0.055，那么在
5、投资计划更改后，收益将增加多少？3、假设客户的风险承受指数不变仍然是0.05，而股票成长基金的年收益率从18%下降到14% ，那新的最佳投资方案是什么？4、假设现在客户认为投资在股票方面的资金太多了，如果增加一个约束条件即投资于股票增长基金的资金不可以超过投资于收入基金的资金，那么新的最佳方案是什么？5、当遇到预期收益变化时，你所建立的线性规划模型应该可以对客户的投资方案作出修改，那么这个模型的适用范围是什么？二、问题分析本题实际给出5个小问题，实际只需要解决2个小问题。首先如何合理安排投资方案，使投资的年收益最大问题；其次是在此基础上，对预期收益率进行敏感度分析，分析判断当预期收益率在一定范
6、围内变化时，最佳投资方案是否改变问题。对于问题一、问题二、问题三、问题四，都是理想的单一变量研究，理论依据都大致相同，只是在约束条件及目标函数的系数上有微小区别，因此针对上述四问，本文都可采用线性规划模型对其求得的最优解。 对于问题五中当遇到预期收益变化时，所建立的线性规划模型应该可以对客户的投资方案作出修改，可以理解为当预期收益率在一定范围内变化时，最佳投资方案是否改变，即可认为是对目标函数的系数进行敏感度分析，确定当最优解不变时的预期收益率的范围。因此可基于前文模型，运用 LINGO 软件对其作敏感度分析，并求解出该模型适用的范围。 三、模型假设1）在一个投资周期内，投资市场的各种基金的风
7、险指数基本保持不变； 2）公司预测的各种基金的年收益率基本符合实际值； 3）投资的这三种基金是相互独立的；4）该基金中无“庄家”或“融大鳄”之类恶意操纵。四、符号说明：表示投资三种基金的序号； i：表示投资 种基金的投资额（分别为股票基金、收入基金、货x(1,23)i币基金）； ：表示三种基金的风险指数； ib3：表示三种基金的年收益率。 ic五、模型建立与求解5.1 问题一的模型求解与建立5.1.1 模型建立根据题意可以得出三种基金的相关信息如下表一表一 三种基金的相关信息 单位：万美元投资限额 投资风险 投资收益 总投资额 总风险指数股票基金 204%01.8%收入基金 5725.货币基金
8、 3005.5.1.2 建立线性规划模型一、目标函数1、将 800000 美元投资于这三种基金，使得年总收益最大，即为： 31maxizc二、约束条件1、对于投资这三种基金的金额，其满足如下条件： 3180i2、对于公司为保证客户投资多元化，对三种投资限额，可得出如下约束， 23.480.5.80x3、对于任何投资其都有一定的风险，因此投资这三种基金其也有一定的投资风险，据题意知，风险指数满足如下： 310.58iibx三、模型为 31maxiizc431123180.4.00.58.0.58iiiistxxb5.1.2 利用 MATLAB 求解三种资金分配结果如表二表二 三种资金分配结果 单
9、位：万美元股票基金 收入基金 货币基金投资额 24.8916.039.1总收益 4股票基金投资、收入基金、货币基金投资额分别为 24.889 万美元、16.000 万美元、39.111 万美元，得到的总收益为 9.4133 万美元。5.2 问题二的模型求解与建立5.2.1 模型建立根据题意可以得出三种基金的相关信息如下表三表三 三种基金的相关信息 单位：万美元投资限额 投资风险 投资收益 总投资额 总风险指数股票基金 204%01.8%收入基金 5725.货币基金 3005.对于此问如何安排投资方案，其原理同问题一，只是将约束条件中客户的风险承受能力指数从 0.05 提高到 0.055，故仍可
10、利用问题一中的模型求解。一、更改约束条件 310.58iibx二、模型为 31maxizc53123180.4.00.58.0.58iiistxxb5.2.2 利用 MATLAB 求解三种资金分配结果如表四表四 三种资金分配结果 单位：万美元股票基金 收入基金 货币基金投资额 29.316.034.67总收益 98股票基金投资、收入基金、货币基金投资额分别为 29.333 万美元、16.000 万美元、34.667 万美元，得到的总收益为 9.8800 万美元，模型一得到的总收益相比总收益增加 美元。模型只是对单一变量的抗风80417险指数进行研究，模型具有局限性，对于实际问题等不确定因素影响
11、，还需要研究。5.3 问题三的模型求解与建立5.3.1 模型建立根据题意可以得出三种基金的相关信息如下表五表五 三种基金的相关信息 单位：万美元投资限额 投资风险 投资收益 总投资额 总风险指数股票基金 204%01.4%收入基金 5725.货币基金 38005.对于此问如何安排投资方案，其原理同问题一，只是将约束条件中客户对股票基金投资收益率从 降低到 ，故仍可利用问题一中的模型求解。85.3.2 利用 MATLAB 求解三种资金最佳分配结果如表六表六 三种资金最佳分配结果 单位：万美元股票基金 收入基金 货币基金投资额 16.029.34.67总收益 85067股票基金、收入基金、货币基金
12、投资额分别为 16.000 万美元、29.333 万美元、34.667 万美元，总收益为 8.5067 万美元。5.4 问题四的模型求解与建立5.4.1 模型建立根据题意可以得出三种基金的相关信息如下表七表七 三种基金的相关信息 单位：万美元6投资限额 投资风险 投资收益 总投资额 总风险指数股票基金 204%01.8%收入基金 5725.货币基金 3005.对于此问如何安排投资方案，其原理同问题一，只是增加了一个约束条件中客户对股票基金投资资金不能超过投资收益基金，故仍可利用问题一中的模型求解。一、增加的约束条件为 12x二、模型为 3112312ma80.40.0.58.0.58iiiiz
13、stcxxb5.4.2 利用 MATLAB 求解三种资金最佳分配结果如表八表八 三种资金最佳分配结果 单位：万美元股票基金 收入基金 货币基金投资额 21.321.337.总收益 906最佳方案是股票基金、收入基金、货币基金分别投入 21.3333 万美元、21.3333 万美元、37.3333 万美元，得到的总收益为 9.3067 万美元。5.5 问题五模型求解与建立5.5.1 模型建立根据题意可以得出三种基金的相关信息如下表九表九 三种基金的相关信息 单位：万美元投资限额 投资风险 投资收益 总投资额 总风险指数股票基金 204%01.8%收入基金 5725.货币基金 3005.对于问题五
14、中预期收益变化时，建立的线性规划模型应该可以对客户的投资方案作出修改，即可以认为是受益率在一定范围内变化时，最佳投资方案7是否改变，即对目标函数的系数进行敏感度分析，确定当最优解不变时的预期收益率的范围。因此可基于问题一的模型，运用 LINGO 进行敏感性分析，求出该变化范围。一、 模型为 31maxizc123180.4.00.58.0.58iiixb5.5.2运用LINGO软件对上述模型Range操作可得如下表十数据：表十预测值 允许增加量 允许减少量1x0.180.32250.23.715.65.5.2三种基金年收益范围 如表十一表十一 三种基金年收益范围股票基金 收入基金 货币基金年收
15、益范围 10.5c20.145c3.0.18c股票基金的年收益范围为 ，收入基金的年收益范围为.,)，货币基金的年收益范围为 。而股票基金年收益范围出(,0.1450.15,88现无穷大不符合实际，收入基金出现负值对于投资者来说是不会投资该基金的。因此该模型具有一定局限性。六、模型的评价本文所建立的模型的主要优点体现在：是一个很有价值的求解最优解的线性规划模型，通过为每个客户安排多元化投资，可以使得客户在其风险承受能力内获得一定的收益。通过线性规划的方法很好的处理了如何合理安排投资方案问题，降低了运算复杂程度，而且可以使投资者得到理性的判断，避免导致盲目投资的现象。因此该模型有一定实用价值。 但所建模型也存在一些不足：单个基金收益为负值，投资者就不会对此项基金投资，所建模型太过于理想化。在现实生活中收益率是未知的，不可能改变一种收益率，而其他不变，所以建模型具有一定的局限性。所求得的股票基金和收益基金的年收益率趋于无穷大，这不符合理论实际，因此所建模型也具有一定的偏差性。 参考文献 1 赵静，但琦，数学建模与数学实验M北京：高等教育出版社，2008 2 谢金星，薛毅，优化建模与LINDO/LINGO软件M北京：清华大学出版社，2005
