《2020版高考数学新增分大一轮江苏专用课件：第十二章 系列4选讲 §12.3 第2课时 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学新增分大一轮江苏专用课件：第十二章 系列4选讲 §12.3 第2课时 （63页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,大一轮复习讲义,第2课时 不等式的证明,第十二章 12.3 不等式选讲,KAOQINGKAOXIANGFENXI,考情考向分析,本节主要考查不等式的证明方法及柯西不等式的简单应用，以解答题的形式出现，属于低档题.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,知识梳理,1.不等式证明的方法 (1)比较法 作差比较法 知道abab0，ab，只要证明_即可，这种方法称为作差比较法. 作商比较法 由ab0 1且a0，b0，因此当a0，b0时，要证明ab，只要证明 _即可，这种方法称为作商比较法.,ZHISHISHU
2、LI,ab0,(2)综合法 从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，即“由因导果”的方法. (3)分析法 从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法，即“执果索因”的方法.,(4)反证法和放缩法 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫
3、做反证法. 在证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，以利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法.,(5)数学归纳法 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤： 证明当nn0时命题成立； 假设当nk (kN*，且kn0)时命题成立，证明nk1时命题也成立. 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.,2.几个常用的不等式 (1)柯西不等式 柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2b2)(c2d2) _ (当且仅当a
4、dbc时，等号成立). 柯西不等式的向量形式：设，是两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立.,(acbd)2,基础自测,JICHUZICE,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)用反证法证明命题“a，b，c全为0”时，假设为“a，b，c全不为0”. ( ),1,2,3,4,5,6,(4)若实数x，y适合不等式xy1，xy2，则x0，y0.( ),7,题组二 教材改编,1,2,3,4,5,6,对于，因为a2b22(ab1)(a1)2(b1)20，所以不等式成立；,7,1,2,3,4,5,6,由ab1，得ab1，ab0，,xy,7,1
5、,2,3,4,5,6,4.P37习题T1设a，b，m，nR，且a2b25，manb5，则 的最小值为_.,解析 根据柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，,7,1,2,3,4,5,6,题组三 易错自纠,9,32229，,7,解 由于a，b，c0，,1,2,3,4,5,6,即abc321且a，b，c0时，等号成立.,7,7.已知实数a，b，c满足a0，b0，c0，且abc1. 证明：(1)(1a)(1b)(1c)8；,当且仅当abc1时，等号成立.,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 用综合法与分析法证明不等式,师
6、生共研,例1 (1)(2018南京、盐城模拟)设ab，求证：a46a2b2b44ab(a2b2).,证明 a46a2b2b44ab(a2b2) (a2b2)24ab(a2b2)4a2b2 (a2b22ab)2(ab)4. 因为ab，所以(ab)40， 所以a46a2b2b44ab(a2b2).,只需证明(abc)23. 即证a2b2c22(abbcca)3， 而abbcca1， 故需证明a2b2c22(abbcca)3(abbcca)， 即证a2b2c2abbcca.,所以原不等式成立.,用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合
7、法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，相互渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.,跟踪训练1 已知a0，b0，a3b32，证明： (1)(ab)(a5b5)4；,证明 (ab)(a5b5)a6ab5a5bb6 (a3b3)22a3b3ab(a4b4) 4ab(a4b42a2b2)4ab(a2b2)24.,(2)ab2.,证明 因为(ab)3a33a2b3ab2b3,所以(ab)38，因此ab2.,题型二 用放缩法证明不等式,师生共研,证明 方法一 当|ab|0时，不等式显然
8、成立. 当|ab|0时，,又|ab|a|b|，f(|ab|)f(|a|b|).,(1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧.常见的放缩变换有：,利用函数的单调性；,(2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度.,原不等式成立.,；,题型三 柯西不等式的应用,师生共研,例3 已知函数f(x)|x3|，g(x)m2|x11|，若2f(x)g(x4)恒成立，实数m的最大值为t. (1)求实数m的最大值t；,解 由题意，知 g(x4)m2|x411|m2|x7|. 若2f(x)g(x4)恒成立，则2|x3|m2|x7|，即m2(|x3|x7|). 而由绝对值三角不等式可得2(
9、|x3|x7|)2|(x3)(x7)|20，当且仅当(x3)(x7)0时等号成立. m20，故m的最大值t为20.,解 实数x，y，z满足2x23y26z2a(a0)， 由柯西不等式可得,即a1(xyz)2，当且仅当2x3y6z时等号成立，,(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明.,跟踪训练3 (1)已知函数 f(x)|x1|x3|，求x的取值范围，使f(x)为常函数；,则当x3,1时，f(x)为常函数.,因此m的最大值为3.,3,课时作业,PART THREE,基础保分练,1,2,3,4,5
10、,6,7,8,9,10,11,12,解 由柯西不等式可得,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,2.已知xy1，求2x23y2的最小值.,解 由柯西不等式可知，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,3.(2018江苏)若x，y，z为实数，且x2y2z6，求x2y2z2的最小值.,证明 由柯西不等式，得(x2y2z2)(122222)(x2y2z)2. 因为x2y2z6，所以x2y2z24，,所以x2y2z2的最小值为4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,4.设a，b，c，d均为正数，且
11、abcd，证明：,由题设知abcd，abcd，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,证明 若|ab|cd，,因为abcd，所以abcd，于是 (ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2. 因此|ab|cd|，即充分性成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,5.(1)关于x的不等式|x3|x4|a的解集不是空集，求a的取值范围；,解 |x3|x4|(x3)(x4)|1， 且|x3|x4|1， 即a的取值范围是(1，).,解 由柯西不等式，,5|xyz|，5xyz5. xyz的取值范围是5,5.
12、,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,6.设a，b，c为正实数且abc1.,证明 因为1(abc)2a2b2c22ab2bc2ca4ab2bc2cac2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,(1)试利用基本不等式，求m的最小值t；,(2)若实数x，y，z满足x24y2z2t，求证：|x2yz|3.,证明 x24y2z23，由柯西不等式得 x2(2y)2z2(121212)(x2yz)2,整理得(x2yz)29，即|x2yz|3.,1,2,3,4,5,
13、6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,8.已知函数f(x)2|x2|3|x3|，若函数f(x)的最小值为m，正实数a，b满足 4a25bm，求 的最小值，并求出此时a，b的值.,当x3时，函数f(x)有最小值10， 故4a25b10，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,9.已知a，b，c为正实数，且abc2.,证明 abc2， a2b2c22ab2bc2ca4， 2a22b22c24ab4bc4ca8， 82a22b22c24ab4bc4ca6ab6bc6ac， 当且仅当
14、abc时取等号，abbcac .,技能提升练,(2)若a，b，c都小于1，求a2b2c2的取值范围.,解 由题意可知，a2b2c22ab2bc2ca4， 4a2b2c2a2b2b2c2a2c23(a2b2c2)，,0a2.同理bb2，cc2. a2b2c2abc2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,10.已知函数f(x)k|x3|，kR，且f(x3)0的解集为1,1. (1)求k的值；,解 因为f(x)k|x3|， 所以f(x3)0等价于|x|k. 由|x|k有解，得k0， 且其解集为x|kxk. 因为f(x3)0的解集为1,1，所以k1.,因为a，b，c是正实数，,当且仅当a2b3c时取等号，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,11.已知函数f(x)m|x1|x2|，mR，且f(x1)0的解集为0,1. (1)求m的值；,解 由f(x1)0，得|x|x1|m. |x|x1|1恒成立， 若m1，不等式|x|x1|m的解集为，不合题意； 若m1，不等
