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1、考试内容等级要求导数的概念A导数的几何意义B导数的运算B利用导数研究函数的单调性与极值B导数在实际问题中的应用B3.1导数的概念及运算考情考向分析导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为填空题或解答题的第(1)问，低档难度1导数的概念(1)函数yf(x)从x1到x2的平均变化率函数yf(x)从x1到x2的平均变化率为，若xx2x1，yf(x2)f(x1)，则平均变化率可表示为.(2)设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，当x无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在xx0处可导，并称常数A
2、为函数f(x)在xx0处的导数，记作f(x0)2导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率k，即kf(x0)3基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(为常数)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0，a1)f(x)axln af(x)ln xf(x)f(x)logax(a0，a1)f(x)4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)
3、f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)5复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积概念方法微思考1根据f(x)的几何意义思考一下，|f(x)|增大，曲线f(x)的形状有何变化？提示|f(x)|越大，曲线f(x)的形状越来越陡峭2直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？提示不一定题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率()(2)f(x0)f(x0).()(3)(2x)x2x1.()(4)若
4、f(x)e2x，则f(x)e2x.()题组二教材改编2P26T2若f(x)xex，则f(1) .答案2e解析f(x)exxex，f(1)2e.3P26T3曲线y1在点(1，1)处的切线方程为 答案2xy10解析y，y|x12.所求切线方程为2xy10.题组三易错自纠4设f(x)ln(32x)cos 2x，则f(0) .答案解析因为f(x)2sin 2x，所以f(0).5设函数f(x)的导数为f(x)，且f(x)fsin xcos x，则f .答案解析因为f(x)fsin xcos x，所以f(x)fcos xsin x，所以ffcos sin ，即f1，所以f(x)sin xcos x，f(x
5、)cos xsin x.故fcos sin .6已知aR，设函数f(x)axln x的图象在点(1，f(1)处的切线为l，则l在y轴上的截距为 答案1解析f(x)a，f(1)a1.又f(1)a，切线l的斜率为a1，且过点(1，a)，切线l的方程为ya(a1)(x1)，即y(a1)x1.故l在y轴上的截距为1.题型一导数的计算1已知f(x)sin ，则f(x) .答案cos x解析因为ysin sin x，所以y(sin x)cos x.2已知f(x)ln ，则f(x) .答案解析y.3f(x)x(2 019ln x)，若f(x0)2 020，则x0 .答案1解析f(x)2 019ln xx2
6、020ln x，由f(x0)2 020，得2 020ln x02 020，x01.4若f(x)x22xf(1)，则f(0) .答案4解析f(x)2x2f(1)，f(1)22f(1)，即f(1)2，f(x)2x4，f(0)4.思维升华 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导法则，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错(2)若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元题型二导数的几何意义命题点1求切线方程例1 (1)已知函数f(x1)，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为 答案1
7、解析由f(x1)，知f(x)2.f(x)，f(1)1.由导数的几何意义知，所求切线的斜率k1.(2)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为 答案xy10解析点(0，1)不在曲线f(x)xln x上，设切点为(x0，y0)又f(x)1ln x，直线l的方程为y1(1ln x0)x.由解得x01，y00.直线l的方程为yx1，即xy10.命题点2求参数的值例2 (1)(2018常州模拟)已知函数f(x)bxln x，其中bR，若过原点且斜率为k的直线与曲线yf(x)相切，则kb的值为 答案解析设切点坐标为(x0，bx0ln x0)，因为f(x
8、)b，所以kb，则切线方程为y(bx0ln x0)(xx0)因为切线过坐标原点，所以(bx0ln x0)(0x0)，即ln x01，所以x0e，所以kb.(2)已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m .答案2解析f(x)，直线l的斜率kf(1)1.又f(1)0，切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0x01，y0xmx0，m0，所以f(x)ln x1，则f(1)1，f(t)ln t1.因为两条切线互相垂直，所以(ln t1)11，解得te
9、2.(3)函数f(x)ln xax的图象存在与直线2xy0平行的切线，则实数a的取值范围是 答案(，2)解析函数f(x)ln xax的图象存在与直线2xy0平行的切线，即f(x)2在(0，)上有解所以f(x)a2在(0，)上有解，则a2.因为x0，所以22，所以a的取值范围是(，2)1函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为 答案3(x2a2)解析f(x)(xa)2(x2a)(2x2a)(xa)(xa2x4a)3(x2a2)2已知曲线f(x)2x21在点M(x0，f(x0)处的瞬时变化率为8，则点M的坐标为 答案(2,9)解析f(x)2x21，f(x)4x，令4x08，则x02，f(x0)9，
10、点M的坐标是(2,9)3已知函数f(x)cos x，则f()f .答案解析因为f(x)cos x(sin x)，所以f()f(1).4设f(x)xln x，若f(x0)2，则x0的值为 答案e解析由f(x)xln x，得f(x)ln x1.根据题意知，ln x012，所以ln x01，即x0e.5曲线ysin xex在点(0,1)处的切线方程是 答案2xy10解析ycos xex，故切线斜率k2，切线方程为y2x1，即2xy10.6已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是 答案解析求导可得y，exex2224，当且仅当x0时，等号成立，y1,0)，得tan 1,0)，又0
