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1、阶段强化练(六)一、选择题1(2019四川诊断)已知直线l和平面，若l，P，则过点P且平行于l的直线()A只有一条，不在平面内B只有一条，且在平面内C有无数条，一定在平面内D有无数条，不一定在平面内答案B解析假设过点P且平行于l的直线有两条m与n，则ml且nl，由平行公理得mn，这与两条直线m与n相交与点P相矛盾，故过点P且平行于l的直线只有一条，又因为点P在平面内，所以过点P且平行于l的直线只有一条且在平面内故选B.2(2019化州模拟)设m，n为两条不同的直线，为平面，则下列结论正确的是()Amn，mn Bmn，mnCmn，mn Dmn，mn答案C解析对于A，若mn，m时，可能n或斜交，故
2、错误；对于B，mn，mn或n，故错误；对于C，mn，mn，正确；对于D，mn，mn或n，故错误故选C.3已知l平面，直线m平面.有下面四个命题：lm；lm；lm；lm.其中正确的命题是()A BC D答案D解析l，l，m，lm，故正确；lm，l，m，又m，故正确4.如图所示，在四面体DABC中，若ABBC，ADCD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BDCC平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDED平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDE答案C解析因为ABBC，且E是AC的中点，所以BEAC.同理，DEAC.又BEDEE，所以AC平面BDE.
3、因为AC平面ABC，所以平面ABC平面BDE.因为AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE.5(2019唐山模拟)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2AA1，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为()A. B. C. D.答案B解析在长方体ABCDA1B1C1D1中，连接A1D，可得A1DB1C，所以异面直线A1B与B1C所成的角，即为直线A1B与直线A1D所成的角，即DA1B为异面直线A1B与B1C所成的角，在长方体ABCDA1B1C1D1中，设ABBC2AA12，则A1BA1D，BD2，在A1BD中，由余弦定理得cosDA1B，故选B.6(2019长春质检)在正方体ABCDA1
4、B1C1D1中，直线A1C1与平面ABC1D1所成角的正弦值为()A1 B. C. D.答案D解析如图所示，连接A1D，AD1交于点O，连接OC1，在正方体中，AB平面AD1，ABA1D，又A1DAD1，且AD1ABA，A1D平面AD1C1B，A1C1O即为A1C1与平面ABC1D1所成的角，在RtA1C1O中，sinA1C1O，所以A1C1与平面ABC1D1所成角的正弦值为，故选D.7(2019湖南岳阳一中质检)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD，AA11，而对角线A1B上存在一点P，使得APD1P取得最小值，则此最小值为()A2 B3 C1 D.答案D解析把对角面A1C绕A
5、1B旋转至ABB1A1，使其与AA1B在同一平面上，连接AD1，在AA1D1中，AA11，A1D1，AA1D1AA1B90150，则APD1P的最小值为AD1.故选D.8(2019湖南五市十校联考)已知E，F分别是三棱锥PABC的棱AP，BC的中点，AB6，PC6，EF3，则异面直线AB与PC所成的角为()A120 B45 C30 D60答案D解析取AC的中点D，连接ED，FD，因为E，F分别是三棱锥PABC的棱AP，BC的中点，所以EDPC，FDAB，则直线DE与直线DF所成的角即异面直线AB与PC所成的角，又因为AB6，PC6，EF3，所以在DEF中，cosEDF，即EDF120，所以异面
6、直线AB与PC所成的角为60.9(2019淄博期中)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90榫卯起来若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为(容器壁的厚度忽略不计)()A28 B30 C60 D120答案B解析由题意知，该球形容器的半径的最小值为，该球形容器的表面积的最小值为4230.故选B.10(2019安徽皖南八校联考)已知一个三棱锥的六条棱的长分别为1,1,1,1，a，且长为a的棱与长为的棱所在直线是异面直
7、线，则三棱锥的体积的最大值为()A. B. C. D.答案A解析如图所示，在三棱锥ABCD中，ADa，BC，ABACBDCD1，则该三棱锥为满足题意的三棱锥，将BCD看作底面，则当平面ABC平面BCD时，该三棱锥的体积有最大值，此时三棱锥的高h，BCD是等腰直角三角形，则SBCD，综上可得，三棱锥的体积的最大值为.故选A.11(2019成都诊断)如图，在矩形ABCD中，EFAD，GHBC，BC2，AFFGBG1，现分别沿EF，GH将矩形折叠使得AD与BC重合，则折叠后的几何体的外接球的表面积为()A24 B6C. D.答案C解析由题意可知，在矩形ABCD中，EFAD，GHBC，BC2，AFFG
8、BG1，沿EF，GH将矩形折叠使得AD与BC重合后，所得几何体是底面为等边三角形的三棱柱底面等边三角形的外接圆直径2r，所以r，三棱柱的高为BC2，所以外接球的球心与底面的圆心距离为1，所以三棱柱的外接球半径R，所以外接球的表面积为S4R2.故选C.12(2019衡水中学模拟)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别为棱BB1，CC1的中点，点O为上底面的中心，过E，F，O三点的平面把正方体分为两部分，其中含A1的部分为V1，不含A1的部分为V2，连接A1和V2的任一点M，设A1M与平面A1B1C1D1所成角为，则sin 的最大值为()A. B. C. D.答案B解析连接EF，因
9、为EF平面ABCD，所以过EFO的平面与平面ABCD的交线一定是过点O且与EF平行的直线，过点O作GHBC交CD于点G，交AB于H点，则GHEF，连接EH，FG，则平行四边形EFGH即为截面，则五棱柱A1B1EHAD1C1FGD为V1，三棱柱EBHFCG为V2，设M点为V2的任一点，过M点作底面A1B1C1D1的垂线，垂足为N，连接A1N，则MA1N即为A1M与平面A1B1C1D1所成的角，所以MA1N.因为sin ，要使的正弦值最大，必须MN最大，A1M最小，当点M与点H重合时符合题意故(sin )maxmax.故选B.二、填空题13已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的
10、球面上，则该圆柱的体积为_答案解析由题意得，该圆柱底面圆周半径r.该圆柱的体积为Vr2h21.14(2019洛阳、许昌质检)在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AC2，BCCC1，P是BC1上一动点，则A1PPC的最小值为_答案解析连接A1B，沿BC1将CBC1展开与A1BC1在同一个平面内，在BC1上取一点与A1，C构成三角形，三角形两边和大于第三边，A1PPC的最小值是A1C的连线作展开图如图，由ACB90，AC2，BCCC1，得AB，又AA1CC1，A1B2，BC12，A1C1AC2，A1BC145，CBC145，A1BC90，A1C.15(2019河北衡水中学调研)已知直三棱柱
11、ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_答案解析如图所示，设M，N，P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1，BC1的夹角为MN和NP的夹角或其补角，MNAB1，NPBC1，作BC的中点Q，则PQM为直角三角形，PQ1，MQAC，ABC中，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcosABC412217，AC，MQ，在MQP中，MP，在PMN中，由余弦定理得cosMNP，又异面直线所成角的范围是，AB1与BC1所成角的余弦值为.16已知四面体ABCD，AB4，ACAD6，BACBAD60，CAD90，则该四面体外接球的半径为_答
12、案2解析如图，设ADC的外心是O1，作BH平面ADC，易知H在AO1上，再作BMAC，垂足为M，连接MH，则MHAC，AO1DC3，AMMH2，AH2，设三棱锥的外接球的球心为O，半径为R，OO1d，因为AH2，BH2，所以在BOG中，由勾股定理可得R，即，解得d，所以R2.三、解答题17.(2019葫芦岛协作校联考)如图，直三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都是2，AA1平面ABC，D，E分别是AC，CC1的中点(1)求证：AE平面A1BD；(2)求三棱锥B1A1BD的体积(1)证明ABBCCA，D是AC的中点，BDAC，AA1平面ABC，平面AA1C1C平面ABC，又平面AA1C1C平面A
13、BCAC，BD平面ABC，BD平面AA1C1C，BDAE.又在正方形AA1C1C中，D，E分别是AC，CC1的中点，A1DAE.又A1DBDD，A1D，BD平面A1BD，AE平面A1BD. (2)解连接AB1交A1B于O，O为AB1的中点，点B1到平面A1BD的距离等于点A到平面A1BD的距离BD21.18(2019长沙长郡中学调研)如图，E是以AB为直径的半圆上异于A，B的点，矩形ABCD所在的平面垂直于该半圆所在的平面，且AB2AD2.(1)求证：EAEC；(2)设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F.证明：EFAB；若EF1，求三棱锥EADF的体积(1)证明平面ABCD平面ABE，平面ABCD平面ABE
