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1、阶段自测卷(四)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1(2019衡水中学考试)已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S10100，则a7的值为()A11 B12 C13 D14答案C解析由S10100及公差为2，得10a12100，所以a11.所以an2n1，故a713.故选C.2(2019四川诊断)若等差数列an的公差d0且a1，a3，a7成等比数列，则等于()A. B. C. D2答案A解析设等差数列的首项为a1，公差为d，则a3a12d，a7a16d.因为a1，a3，a7成等比数列，所以(a12d)2a1(a16d)，解得a12d
2、.所以.故选A.3(2019四省联考)已知等差数列an的前n项和为Sn，若S630，S1010，则S16等于()A160 B80 C20 D40答案B解析由于数列为等差数列，故解得a110，d2，故S1616a1120d1610120(2)80，故选B.4记等比数列an的前n项和为Sn，若S32，S618，则等于()A3 B5 C31 D33答案D解析由题意知公比q1，1q39，q2，1q512533.5(2019湖南五市十校联考)已知数列an满足2anan1an1(n2)，a2a4a612，a1a3a59，则a1a6等于()A6 B7 C8 D9答案B解析由数列an满足2anan1an1(n
3、2)得数列an为等差数列，所以a2a4a63a412，即a44，同理a1a3a53a39，即a33，所以a1a6a3a47.6(2019新乡模拟)为了参加冬季运动会的5 000 m长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划：第1天跑5 000 m，以后每天比前1天多跑200 m，则这个同学7天一共将跑()A39 200 m B39 300 m C39 400 m D39 500 m答案A解析依题意可知，这个同学第1天，第2天，跑的路程依次成首项为5 000，公差为200的等差数列，则这个同学7天一共将跑5 000720039 200 (m)故选A.7等差数列an的前n项和为Sn，已知am1am
4、1a0，S2m138，则m等于()A38 B20 C10 D9答案C解析因为an是等差数列，所以am1am12am，由am1am1a0，得2ama0，由S2m138知am0，所以am2，又S2m138，即38，即(2m1)238，解得m10，故选C.8(2019青岛调研)已知各项均不相等的等比数列an，若3a2，2a3，a4成等差数列，设Sn为数列an的前n项和，则等于()A. B. C3 D1答案A解析设等比数列an的公比为q，3a2，2a3，a4成等差数列，22a33a2a4，4a2q3a2a2q2，化为q24q30，解得q1或3.又数列的各项均不相等，q1，当q3时，.故选A.9(201
5、9广东六校联考)将正奇数数列1，3，5，7，9，依次按两项、三项分组，得到分组序列如下： (1，3)，(5，7，9)，(11，13)，(15，17，19)，称(1，3)为第1组，(5，7，9)为第2组，依此类推，则原数列中的2 019位于分组序列中的()A第404组 B第405组C第808组 D第809组答案A解析正奇数数列1，3，5，7，9，的通项公式为an2n1， 则2 019为第1 010个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，故原数列中的2 019位于分组序列中的第404组，故选A.10(2019新疆昌吉教育共同体月考)在数列an中，a12，其前n项和为Sn.若点在
6、直线y2x1上，则a9等于()A1 290 B1 280 C1 281 D1 821答案C解析由已知可得12，又1a111，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n1，得Snn(12n1)，当n2时，anSnSn1(n1)2n21，故 a91012811 281.11(2019长沙长郡中学调研)已知数列an的前n项和为Sn，且Snn24n，若首项为的数列bn满足an，则数列bn的前10项和为()A. B. C. D.答案A解析由Snn24n，可得an2n3，根据an2n3，结合题设条件，应用累加法可求得n22n，所以bn，所以数列bn的前n项和为Tn，所以T10，故选A.12已知数列
7、an的通项an，nN* ，若a1a2a3a2 0180，nx11.当x时，x10，x20，nx10(3n2 018，nN*)，此时10，x20，x30，nx11；当x时，x10，x20，x30，x40，x50，nx11.故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13设等差数列an的公差为d，其前n项和为Sn，若a4a100，2S12S210，则d的值为_答案10解析由a4a100，2S12S210，得解得d10.14(2019沈阳东北育才中学模拟)等差数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，若，则_.答案解析原式.15(2019荆州质检)已知数列an的前n项和为Sn，若an(
8、2n1)sin，则S2 019_.答案2 020解析an(2n1)sin(12n)sin ，a1，a2，an分别为1，0，5，0，9，0，13，0，17，0，21，0，归纳可得，每相邻四项和为4，S2 0195044a2 017a2 018a2 0192 016(122 017)0(22 0191)2 01642 020.16(2019长沙长郡中学调研)已知点列P1(1，y1)，P2(2，y2)，P3(3，y3)，Pn1(n1，yn1)在x轴上的投影为Q1，Q2，Qn1，且点Pn1满足y11，直线PnPn1的斜率2n.则多边形P1Q1Qn1Pn1的面积为_答案32nn3解析根据题意可得yn1y
9、n2n，结合y11，应用累加法，可以求得yn12n11，根据题意可以将该多边形分成n个直角梯形计算，且从左往右，第n个梯形的面积为Sn32n11，总的面积应用分组求和法，可求得多边形的面积为S3(2n1)n32nn3.三、解答题(本大题共70分)17(10分)已知an是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和(1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；(2)当Sm，Sn，Sl成等差数列时，求证：对任意自然数k，amk，ank，alk也成等差数列(1)解由已知，得anaqn1，因此S1a，S3a(1qq2)，S4a(1qq2q3)当S1，S3，S4成等差数列时，S4S3S3S1，可
10、得aq3aqaq2，化简得q2q10.解得q.(2)证明若q1，则an的各项均为a，此时amk，ank，alk显然成等差数列若q1，由Sm，Sn，Sl成等差数列可得SmSl2Sn，即，整理得qmql2qn.因此amkalkaqk1(qmql)2aqnk12ank，所以amk，ank，alk成等差数列18(12分)(2019安徽皖南八校联考)数列an的前n项和记为Sn，且4Sn5an5，数列bn满足bnlog5an.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设cn，数列cn的前n项和为Tn，证明Tn1.(1)解4Sn5an5，4a15a15，a15.当n2时，4Sn15an15，4an5an5an
11、1，an5an1，an是以5为首项，5为公比的等比数列，an55n15n.bnlog55nn.(2)证明cn，Tn11.19(12分)(2019安徽皖中名校联考)已知数列an满足：an12ann1，a13.(1)设数列bn满足：bnann，求证：数列bn是等比数列；(2)求出数列an的通项公式和前n项和Sn.(1)证明2，又b1a11312，bn是以2为首项，2为公比的等比数列(2)解由(1)得bn2n，an2nn，Sn(211)(222)(2nn)(21222n)(123n) 2n12.20(12分)(2019湖南衡阳八中月考)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2ann(nN*)(1)证明
12、：an1是等比数列；(2) 若数列bnlog2(an1)，求数列的前n项和Tn.(1)证明当n1时，S12a11，a11.Sn2ann，Sn12an1(n1)，an12an1，an112(an1)， an1是以a112为首项，2为公比的等比数列(2)解由(1)得an12n，bnlog22nn，Tn.21(12分)(2019青岛调研)已知数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn.(1)若对任意nN*，Sn都成立，求an；(2)若a11，a22，bna2n1a2n，且数列bn是公比为3的等比数列，求S2n.解(1)由Sn，得Sn1，n2，两式相减得ann，n2，又a1S1，不满足ann， an(2)S2na1a2a2n(a1a2)(a3a4)(a2n1a2n)b1b2bn，b1a1a23，bn
