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1、随堂巩固训练(73) 1. 如果过球的球心的截面圆的面积扩大为原来的4倍，那么球的体积扩大为原来的8倍.解析：根据球的体积公式可知，球的体积扩大为原来的8倍 2. 将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是.解析：由题意可知，圆锥的底面周长为2，则底面半径为1，圆锥的高为，所以圆锥的体积为12. 3. 已知正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为60，则该棱锥的体积为6.解析：由题意得正四棱锥的高h2sin603，底面正方形的对角线长为2，所以底面积S226，所以体积V636. 4. 已知圆锥的高为4，母线长为5，则该圆锥侧面展开图的中心角为，侧面积为15.解析：因为圆锥的高为4
2、，母线长为5，所以圆锥的底面半径为3，则底面周长为6，所以中心角为，侧面积为6515 5. 底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的表面积为3m2.解析：如图，在正三棱锥SABC中，D为顶点S在底面BCA内的射影，则D为正三角形ABC的垂心，过点C作CHAB于点H，连结SH，则SDHC且HDCH.在RtSHD中，SH，则SSABABSH，SABCAB2，所以S表面积SABC3SSAB3(m2). 6. 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且，则的值是.解析：设甲、乙两圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，则.因为侧面积相等，所以，所以. 7
3、. 如图，正方形ABCD的边长为a，E，F分别是边AB，BC的中点，沿DE，EF，FD将DAE，EBF，FCD折起来，使A，B，C三点重合于点S，则三棱锥SDEF的外接球的体积为.解析：由题意图形折叠为三棱锥，且由点S出发的三条棱两两垂直，SDa，SESF，以SD，SE，SF为边补成长方体，则长方体的对角线即为球的直径，2ra，ra，外接球的体积为Vr3. 8. 圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是4cm.解析：设球的半径为r，则V水8r2，V球3r34r3.放入球后，水面高为6r，则r26r8r24r3，解
4、得r4. 9. 在三棱锥ABCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，ABC，ACD，ADB的面积分别为，则该三棱锥的体积为.解析：由题意得ABAC，ADAC，ABAD，所以AB，AC1，AD，所以VADSABC.10. 如图，三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为a， A1ABA1AC60，则其全面积为a2.解析：因为在斜三棱柱ABCA1B1C1中，A1ABA1AC60，所以A1A在平面ABC内的射影是BAC的平分线.作A1H平面ABC，延长AH交BC于点D，因为ABC是边长为a的等边三角形，所以ADBC.因为A1HBC，ADA1HH，所以BC平面AA1H.因为AA1平面AA1H，所以AA1BC
5、.因为AA1BB1，所以BB1BC，因此四边形BB1C1C是矩形，所以S矩形BB1C1Ca2.连结A1B，则AA1B是正三角形，所以S四边形ABB1A1a22a2.同理S四边形AA1C1Ca2.又S底a2，所以S全a2a22a22a2.11. 一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm， 高是 cm.(1) 求三棱台的斜高；(2) 求三棱台的侧面积和表面积.解析：(1) 设O1，O分别为正三棱台ABCA1B1C1的上、下底面正三角形的重心，如图所示，则O1O.过点O1，O，分别作O1D1B1C1，ODBC，垂足分别为D1，D，则D1D为三棱台的斜高.过点D1作D1EAD，垂足为E，则D1
6、EO1O.因为O1D1，OD3，则DEODO1D1.在RtD1ED中，D1D.故三棱台的斜高为cm.(2) 设c，c分别为上、下底面的周长，h为斜高，S侧(cc)h(3336)(cm2)，S表S侧S上S下3262(cm2).故三棱台的侧面积为cm2，表面积为cm2.12. 在直角梯形ABCD中，ABCD，AB2BC4，CD3，E为AB的中点，过点E作 EFCD，垂足为F(如图1)，将此梯形沿EF折成一个直二面角AEFC(如图2).(1) 求证：BF平面ACD；(2) 求多面体ADFCBE的体积.图1 图2解析：(1) 连结EC，交BF于点O，取AC的中点P，连结PO，PD，可得POAE，且PO
7、AE.因为DFAE，且DFAE，所以DFPO，且DFPO，所以四边形DPOF为平行四边形，所以FOPD，即BFPD.又PD平面ACD，BF平面ACD，所以BF平面ACD.(2) 因为二面角AEFC是直二面角，且AEEF，所以AE平面BCFE.又BC平面BCFE，所以AEBC.又BCBE，BEAEE，BE，AE平面AEB，所以BC平面AEB，所以BC是三棱锥CABE的高.同理可证CF是四棱锥CAEFD的高，所以多面体ADFCBE的体积VVCABEVCAEFD222(12)22.13. 如图，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A，B两点的任意一点，A1AAB2.(1) 求证：BC平面A1AC；(2) 求三棱锥A1ABC体积的最大值.解析：(1) 因为C是底面圆周上异于A，B两点的任意一点，AB是圆柱底面圆的直径，所以BCAC.因为AA1平面ABC，BC平面ABC，所以AA1BC.因为AA1ACA，AA1，AC平面AA1C，所以BC平面AA1C.(2) 设ACx(0x2)，则在RtACB中，BC，故VA1ABCSABCAA1ACBCAA1x(0x2).因为0x2，所以0x24，所以当x22，即x时，三棱锥A1ABC的体积最大，其最大值为.
