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1、随堂巩固训练(62) 1. 设Sn是等比数列an的前n项和，若a52a100，则.解析：设等比数列的公比为q，则由a52a100，得q5，所以1q101. 2. 在由正数组成的等比数列an中，若a4a5a63，则log3a1log3a2log3a8log3a9的值为.解析：由题意得a4a5a6a3，解得a53. 因为a1a9a2a8a，所以log3a1log3a2log3a8log3a9log3(a1a2a8a9)log3alog33. 3. 设数列an是首项为1，公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则数列an的公差为2.解析：设公差为d，其中d0，则S1，S
2、2，S4分别为1，2d，46d. 由S1，S2，S4成等比数列，得(2d)246d，即d22d. 因为d0，所以d2. 4. 若正项等比数列an中，a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，则n14.解析：设数列an的公比为q，由a1a2a34aq3与a4a5a612aq12，可得q93，an1anan1aq3n3324，则q3n68134q36，所以n14. 5. 已知数列an满足log3an1log3an1(nN*)，且a2a4a69，则log(a5a7a9)的值是5.解析：由log3an1log3an1(nN*)，得log3an1log3an1，即log31，解得3，所以
3、数列an是公比为3的等比数列. 因为a5a7a9(a2a4a6)q3，所以a5a7a993335，所以log(a5a7a9)log355. 6. 在由正数组成的等比数列an中，若a3a4a53，则sin(log3a1log3a2log3a7)的值为.解析：因为a3a4a53a，所以a43.log3a1log3a2log3a7log3(a1a2a7)log3a7log33，所以sin(log3a1log3a2log3a7). 7. 若a，b是函数f(x)x2pxq(p0，q0)的两个不同的零点，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于9.解析：由题意知
4、abp，abq，因为p0，q0，所以a0，b0.在a，b，2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a，b，2；b，a，2；2，a，b；2，b，a；成等比数列的情况有a，2，b；b，2，a，所以或解得或所以p5，q4，所以pq9. 8. 在正项等比数列an中，若a4a32a22a16，则a5a6的最小值为48.解析：设 a2a1x0，等比数列的公比为q，则a4a3 xq2，a5a6 xq4.由a4a32a22a16，得 xq262x，所以x0，q，所以a5a6 xq4 66(q22)66(44)48，当且仅当q222，即q2时，等号成立，故a5a6的最小值为48. 9. 已知正项等比数列an满
5、足a2 0152a2 013a2 014，若存在两项am，an，使得4a1，则的最小值为.解析：设an的公比为q(q0).由a2 0152a2 013a2 014，可得a2 013q22a2 013a2 013q，所以q2q20，所以q2.因为4a1，所以qmn216，所以mn6.(mn)()(5)，当且仅当，即m2，n4时取等号，故的最小值为. 10. 已知各项都为正数的数列an满足a11，a(2an11)an2an10，则数列an的通项公式an.解析：由a(2an11)an2an10得2an1(an1)an(an1).因为数列an的各项都为正数，所以，故数列an是首项为1，公比为的等比数列
6、，所以an.11. 已知数列an的前n项和为Sn，在数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且anSnn.(1) 设cnan1，求证：cn是等比数列；(2) 求数列bn的通项公式.解析：(1) 因为anSnn，所以an1Sn1n1.得2an1an1，所以an1.因为cn1an111cn，所以.又a1a11，所以a1，c1a11，所以数列cn是以为首项，为公比的等比数列. (2) 由(1)可知cn，所以ancn11. 当n2时，bnanan11，b1a1满足上式，所以bn. 12. 已知各项均为正数的数列an的首项a11，Sn是数列an的前n项和，且满足anSn1an1Snanan1ana
7、n1(0，nN*).(1) 若a1，a2，a3成等比数列，求实数的值；(2) 若，求Sn.解析：(1) 令n1，得a2.令n2，得a2S3a3S2a2a3a2a3，所以a3.由aa1a3，得，因为0，所以1.(2) 当时，anSn1an1Snanan1anan1，所以，即，所以数列是以2为首项，为公差的等差数列，所以2(n1)，即Sn1an.当n2时，Sn11an1，得，ananan1，即(n1)an(n2)an1，所以(n2)，所以是常数列，且为，所以an(n2)，代入得Snan1. 13. 设数列an的前n项和为Sn(nN*)，且满足：|a1|a2|；r(np)Sn1(n2n)an(n2n2)a1，其中r，pR，且r0.(1) 求实数p的值；(2) 数列an是否为等比数列？请说明理由.解析：(1) 当n1时，r(1p)S22a12a10.又r0，|a1|a2|，所以S20，所以p1.(2) 数列an不是等比数列. 理由如下：假设数列an是等比数列，公比为q.当n2时，rS36a2，即ra1(1qq2)6a1q，所以r(1qq2)6q，当n3时，2rS412a34a1，即2ra1(1qq2q3)12a1q24a1，所以r(1qq2q3)6q22，联立得q1，与|a1|a2|矛盾，所以假设不成立，故数列an不是等比数列.
