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1、随堂巩固训练(51) 1. “点M在曲线y24x上”是“点M的坐标满足方程y2”的必要不充分条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)解析：若点M在曲线y24x上，则y2，即充分性不成立；若y2，则y24x成立，即必要性成立，故“点M在曲线y24x上”是“点M的坐标满足方程y2”的必要不充分条件. 2. 在ABC中，点B，C的坐标分别为(3，0)，(3，0)，且三角形周长为16，则点A的轨迹方程是1(x5).解析：由题意可知BC6，所以ABAC10，所以点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，所以c3，2a10，即a5，所以b2a2c225916.又因为点A不能与点B，C
2、在同一直线上，所以x5，故点A的轨迹方程为1(x5). 3. 动点P到点F(2，0)的距离与它到直线x20的距离相等，则点P的轨迹方程为y28x.解析：由抛物线的定义知，点P的轨迹是以F为焦点的抛物线，其开口方向向右，且2，解得p4，故其方程为y28x. 4. 已知一条曲线C在y轴的右边，曲线C上一点到点F(1，0)的距离减去它到y轴距离的差都是1，则曲线C的方程为y24x.解析：设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足x1(x0)，化简得y24x(x0)，故曲线C是抛物线，其方程是y24x. 5. 已知ABC的两个顶点A，B分别是椭圆1的左、右焦点，三个内角A，B，C满足si
3、nAsinBsinC，则顶点C的轨迹方程是1(x2).解析：因为A，B是椭圆1的左、右焦点，所以点A(4，0)，B(4，0).由正弦定理得，即BCACAB4AB，所以顶点C的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的左支(除去与x轴的交点).设顶点C的轨迹方程为1(x2)，则a2，c4，所以b2c2a216412，故顶点C的轨迹方程为1(x0，即抛物线x216y，与双曲线1有交点，满足题意. 7. 已知曲线y1与直线yk(x2)4有两个交点，则实数k的取值范围是.解析：由题意可知，直线yk(x2)4过定点A(2，4)，曲线y1的图象为以(0，1)为圆心，2为半径的半圆.当直线与圆相切，C为切点时，圆心到直
4、线的距离dr，即2，解得k；当直线过B点时，斜率为.则当直线与半圆有两个不同的交点时，由图可知实数k的取值范围是. 8. 已知点A(3，2)，B(1，4)，过A，B作两条互相垂直的直线l1和l2，则l1和l2的交点M的轨迹方程为(x1)2(y1)213.解析：设点M(x，y)，由题意可知0，即(3x，2y)(1x，4y)0，化简整理可得(x1)2(y1)213. 9. 设A1，A2是椭圆1的长轴的两个端点，P1，P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为1.解析：设交点为点P(x，y)，A1(3，0)，A2(3，0)，P1(x0，y0)，P2(x0，y0).因为点
5、A1，P1，P共线，所以.因为点A2，P2，P共线，所以，解得x0，y0，代入1，化简得1.10. 设O为坐标原点，P为直线y1上的动点，1，则点Q的轨迹方程是x2y2y0(y0).解析：设点P(a，1)，Q(x，y)，则由得ayx，即a.由1得axy1，将a代入得x2y2y0(y0).11. 过圆C：x2y24上一动点M作平行于x轴的直线m，设直线m与y轴的交点为N，若向量，求动点Q的轨迹方程.解析：设点M(x0，y0)(y00)，Q(x，y)，则N(0，y0)，由，得x0x，y0.因为xy4，所以x24(y0)，所以点Q的轨迹方程是1(y0).12. 如图所示，点P在圆O：x2y24上，P
6、Dx轴，垂足为D，点M在射线DP上，且满足(0).(1) 当点P在圆O上运动时，求点M的轨迹C的方程，并根据取值说明轨迹C的形状；(2) 设轨迹C与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，直线2x3y0与轨迹C 交于点E，F，点G在直线AB上且满足6，求实数的值.解析：(1) 设点M(x，y)，P(x0，y0)，由于且PDx轴，所以即又点P在圆O上，所以1.当01时，轨迹C表示焦点在y轴上的椭圆.(2) 由题设知点A(2，0)，B(0，2)，点E，F关于原点对称，所以设点E，F，G，不妨设x10.直线AB的方程为1，把点G的坐标代入得x2.又点E在轨迹C上，则有1，解得x1.因为6，即6(x
7、2x1)x1x2，化简得x2x1，所以(0)，解得或，故实数的值为或.13. 如图，已知椭圆1(ab0)，P为其上一点，F1，F2为椭圆的焦点， F1PF2的外角平分线为l，F2关于直线l的对称点为Q，F2Q交直线l于点R.(1) 当点P在椭圆上运动时，求点R的轨迹方程；(2) 设点R形成的曲线为C，直线l：yk(xa)与曲线C相交于A，B两点，当AOB的面积取得最大值时，求k的值.解析：(1) 因为F2关于l的对称点为Q，连结PQ，所以F2PRQPR，F2RQR，PQPF2.又因为l为F1PF2的外角平分线，故点F1，P，Q在同一条直线上，设点R(x0，y0)，Q(x1，y1)，F1(c，0)，F2(c，0).因为F1QF1PPQF1PPF22a，则(x1c)2y(2a)2.又由得所以(2x0)2(2y0)2(2a)2，所以xya2，故点R的轨迹方程为x2y2a2(y0).(2) 因为SAOBOAOBsinAOBsinAOB，所以当AOB90时，SAOB取最大值a2.此时弦AB的弦心距da，所以k.
