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1、随堂巩固训练(72) 1. 已知平面，都与垂直，且l，则直线l与平面的关系为垂直.解析：由题意设m，n.因为l，所以在l上任取一点P，过点P在平面内作PAm，过点P在平面内作PBn.因为，m，所以PA.因为，n，所以PB，所以PA，PB重合，即l，所以l. 2. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为平行.解析：连结AC，BD，交点为F，连结EF，在BDD1中，E，F分别为DD1，BD的中点，所以EFBD1.又因为EF平面ACE，BD1平面ACE，所以BD1平面ACE. 3. 已知平面平面，直线m，则m一定成立，理由为因为平面平面，所以平面，没有
2、公共点.因为直线m，所以直线m与平面没有公共点，所以直线m平面. 4. 下列命题中正确的是.(填序号)平行于同一直线的两个平面平行； 平行于同一平面的两个平面平行；垂直于同一直线的两直线平行； 垂直于同一平面的两直线平行.解析：平行于同一直线的两个平面平行或相交，故错误；平行于同一平面的两个平面平行，由平面平行的性质定理，可知正确；垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面，故错误；垂直于同一平面的两直线平行，故正确. 5. 设不同的直线m，n和不同的平面，则下列命题中正确的是.(填序号)若mn，m，n，则； 若mn，n，m，则；若mn，m，n，则； 若m，mn，n，则.解析：对于，因为mn，m，
3、所以n.又n，所以，故错误；对于，因为mn，n，所以m.又m，则，故正确；对于，根据面面平行的判定定理可知，必须是两条相交直线分别平行，结论才成立，故错误；对于，若m，mn，则n或n.又n，所以不一定成立，故错误. 6. 设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列命题：若m，则m； 若m，m，则；若，则； 若m，n，mn，则.其中，真命题的序号是.解析：若m，则根据空间中线面的位置关系可知，m或m或m或m与相交，故为假命题；若m，m，则根据面面垂直的判定定理可知，故为真命题；若，则根据空间中平面与平面的位置关系可知或与相交，故为假命题；若m，n，mn，则根据三棱柱的三个侧面可得与相交
4、，根据四棱柱的四个侧面可得，故为假命题. 7. 已知，为两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的必要不充分条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)解析：由m，得不出m，因为两平面垂直，其中一平面内的直线不一定与另一平面垂直；若m，m，则根据面面垂直的判定定理可得，所以“”是“m”的必要不充分条件. 8. 过ABC所在平面外一点P作PO平面，垂足为O，连结PA，PB，PC，若PAPBPC，则O为ABC的外心.解析：由题意得，过ABC所在平面外一点P作PO平面，垂足为O，且PAPBPC，所以OAOBOC，所以O为ABC的外心. 9. 已知平面，直线l，m
5、满足：，m，l，lm，那么可由上述条件推出的结论有.(填序号)m；l；.解析：因为，m，l，lm，所以与相交，但不一定垂直，m与相交，但不一定垂直，故错误；由面面垂直的性质，知l，故正确；由面面垂直的判定定理，知，故正确.10. 对于平面与平面，有下列条件：平面，都垂直于平面；平面，都平行于平面；平面内不共线的三点到平面的距离相等；l，m为两条平行直线，且l，m；l，m是异面直线，且l，m，l，m.则可判定平面与平面平行的条件是.(填序号)解析：对于，由长方体过同一个顶点的三个侧面，可知垂直于同一个平面的两个平面可能相交，故不正确；对于，由两个平面互相平行的定义，可得平行于同一个平面的两个平面
6、互相平行，故正确；对于，若平面内不共线的三点不在平面的同一侧，则平面与平面相交，故不正确；对于，若l，m为两条平行线，且l，m，则与可能平行，也可能相交，故不正确；对于，若l，m是异面直线，且l，m，l，m，则，故正确.11. 如图，在四棱锥ABCDE中，底面BCDE为菱形，侧面ABE为等边三角形，且侧面ABE底面BCDE，O，F分别为BE，DE的中点.求证：(1) AOCD；(2) 平面AOF平面ACE.解析：(1) 因为ABE为等边三角形，O是BE的中点，所以AOBE.又因为平面ABE平面BCDE，平面ABE平面BCDEBE，AO平面ABE，所以AO平面BCDE.因为CD平面BCDE，所以
7、AOCD.(2) 连结BD.因为四边形BCDE为菱形，所以CEBD.因为O，F分别为BE，DE的中点，所以OFBD，所以CEOF.由(1)可知，AO平面BCDE，因为CE平面BCDE，所以AOCE.因为AOOFO，AO，OF平面AOF，所以CE平面AOF.又因为CE平面ACE，所以平面AOF平面ACE.12. 在如图所示的多面体中，EF平面AEB，AEEB，ADEF，EFBC，BC2AD4，EF3，AEBE2，G是BC的中点.求证：(1) AB平面DEG；(2) BDEG.解析：(1) 因为ADEF，EFBC，所以ADBC.又因为BC2AD，G是BC的中点，所以ADBG，所以四边形ADGB是平
8、行四边形，所以ABDG.因为AB平面DEG，DG平面DEG，所以AB平面DEG.(2) 过点D作DHAE，交EF于点H，连结GH，BH.因为EF平面AEB，AE平面AEB，所以EFAE，EFBE.又AEEB，EBEFE，EB，EF平面BCFE，所以AE平面BCFE，所以DH平面BCFE.因为EG平面BCFE，所以DHEG.因为ADEF，DHAE，所以四边形AEHD是平行四边形，所以EHAD2.又EHBG，EHBE，EHBEBG2，所以四边形BGHE为正方形，所以BHEG.又BHDHH，BH，DH平面BHD，所以EG平面BHD.因为BD平面BHD，所以BDEG.13. 如图，在四棱锥PABCD中
9、，底面ABCD是矩形，PAPD，PAAB，N是棱AD的中点.(1) 求证：平面PAB平面PAD；(2) 求证：PN平面ABCD；(3) 在棱BC上是否存在动点E，使得BN平面DEP？并说明理由.解析：(1) 在矩形ABCD中，ABAD.又因为ABPA，PAADA，PA，AD平面PAD，所以AB平面PAD.又因为AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2) 在PAD中，PAPD，N是AD的中点，所以PNAD.由(1)知AB平面PAD，PN平面PAD，所以ABPN.又因为ABADA，AB，AD平面ABCD，所以PN平面ABCD.(3) 在棱BC上存在点E，使得BN平面DEP，此时E为BC的中点
10、.理由如下：假设存在点E，使得BN平面DEP.因为BN平面ABCD，平面ABCD平面PDEDE，所以BNDE.因为N是AD的中点，所以E为BC的中点，故假设成立，且E为BC的中点.总结：解决立体几何中的探索性问题的步骤：第一步：写出探求的最后结论；第二步：证明探求结论的正确性；第三步：给出明确答案；第四步；反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.温馨提醒：(1) 立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设.(2) 这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使成立”，“只需使成立”.
