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1、第4节 幂函数与二次函数,知 识 梳 理,1.幂函数,(1)幂函数的定义 一般地，形如_的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数. (2)常见的5种幂函数的图象,yx,(3)幂函数的性质 幂函数在(0，)上都有定义； 当0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增； 当0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，)上单调递减.,2.二次函数,(1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f(x)_. 顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，顶点坐标为_. 零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点.,ax2bxc(a0),(m，n),(2
2、)二次函数的图象和性质,微点提醒,1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(2)当n0时，幂函数yxn在(0，)上是增函数.( ) (3)二次函数yax2bxc(xR)不可能是偶函数.( ),(3)由于当b0时，yax2bxcax2c为偶函数，故(3)错.,答案 (1) (2) (3) (4),答案 C,3.(必修1P44A9改编)若函数f(x)4x2kx8在1，2上是单调函数，则实数k的取值范围是_.,答案 (，816，),A.bac B.abc C.bca D.cab,答案 A,5.(2019
3、衡水中学月考)若存在非零的实数a，使得f(x)f(ax)对定义域上任意的x恒成立，则函数f(x)可能是( ) A.f(x)x22x1 B.f(x)x21 C.f(x)2x D.f(x)2x1,答案 A,6.(2018成都诊断)幂函数f(x)(m24m4)xm26m8在(0，)上为增函数，则m的值为_.,答案 1,考点一 幂函数的图象和性质,【例1】 (1)幂函数yf(x)的图象过点(4，2)，则幂函数yf(x)的大致图象是( ),A.abc B.cab C.bca D.bac,解析 (1)设幂函数的解析式为yx， 因为幂函数yf(x)的图象过点(4，2)，,答案 (1)C (2)D,规律方法
4、1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x1，y1，yx所分区域.根据1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. 2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.,A.奇函数 B.偶函数 C.定义域内的减函数 D.定义域内的增函数,(2)由题意知可取1，1，3.又yx在(0，)上是减函数， 0，取1. 答案 (1)A (2)1,考点二 二次函数的解析式 【例2】 (一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式. 解 法一 (利用“一般式”解题) 设f(x)ax2
5、bxc(a0).,所求二次函数的解析式为f(x)4x24x7.,法二 (利用“顶点式”解题) 设f(x)a(xm)2n(a0). 因为f(2)f(1)，,又根据题意，函数有最大值8，所以n8，,法三 (利用“零点式”解题) 由已知f(x)10的两根为x12，x21， 故可设f(x)1a(x2)(x1)(a0)， 即f(x)ax2ax2a1.,解得a4或a0(舍). 故所求函数的解析式为f(x)4x24x7.,规律方法 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：,【训练2】 已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得
6、的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，则f(x)_.,解析 因为f(2x)f(2x)对xR恒成立， 所以yf(x)的图象关于x2对称. 又yf(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，,所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0). 因此设f(x)a(x1)(x3). 又点(4，3)在yf(x)的图象上，所以3a3，则a1. 故f(x)(x1)(x3)x24x3. 答案 x24x3,考点三 二次函数的图象及应用 【例3】 (1)对数函数ylogax(a0且a1)与二次函数y(a1)x2x在同一坐标系内的图象可能是( ),(2)设函数f(x)x2xa(a0)，已知
7、f(m)0 D.f(m1)0,解析 (1)若01，则yloga x在(0，)上是增函数， y(a1)x2x图象开口向上，且对称轴在y轴右侧， 因此B项不正确，只有选项A满足.,由f(m)0，所以f(m1)f(0)0. 答案 (1)A (2)C,规律方法 1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向. 2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.,解析 A中，由一次函数yaxb的图象可得a0，此时二次函数
8、yax2bxc的图象应该开口向上，A错误；,D中，由一次函数yaxb的图象可得a0，b0，此时二次函数yax2bxc的图象应该开口向下，D错误. 答案 C,考点四 二次函数的性质 多维探究 角度1 二次函数的单调性与最值,【例41】 已知函数f(x)x22ax3，x4，6. (1)当a2时，求f(x)的最值； (2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4，6上是单调函数.,解 (1)当a2时，f(x)x24x3(x2)21，由于x4，6， f(x)在4，2上单调递减，在2，6上单调递增，f(x)的最小值是f(2)1， 又f(4)35，f(6)15，故f(x)的最大值是35.,(2)由于函数f
9、(x)的图象开口向上，对称轴是xa，所以要使f(x)在4，6上是单调函数，应有a4或a6，即a6或a4， 故a的取值范围是(，64，).,角度2 二次函数的恒成立问题 【例42】 (2019浙江“超级全能生”模拟)已知在(，1上递减的函数f(x)x22tx1，且对任意的x1，x20，t1，总有|f(x1)f(x2)|2，则实数t的取值范围是( ),解析 由于f(x)x22tx1的图象的对称轴为xt， 又yf(x)在(，1上是减函数，所以，t1. 则在区间0，t1上，f(x)maxf(0)1， f(x)minf(t)t22t21t21， 要使对任意的x1，x20，t1，都有|f(x1)f(x2)
10、|2，,答案 B,规律方法 1.二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解. 2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 (1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数. (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.,【训练4】 已知二次函数f(x)ax2bx1(a，bR且a0)，xR.,(1)若函数f(x)的最小值为f(1)0，求f(x)的解析式，并写出单
11、调区间； (2)在(1)的条件下，f(x)xk在区间3，1上恒成立，试求k的取值范围.,所以f(x)x22x1， 由f(x)(x1)2知，函数f(x)的单调递增区间为1，)， 单调递减区间为(，1.,(2)由题意知，x22x1xk在区间3，1上恒成立， 即kx2x1在区间3，1上恒成立， 令g(x)x2x1，x3，1，,则g(x)ming(1)1，所以k1， 故k的取值范围是(，1).,思维升华 1.幂函数yx的性质和图象，由于的取值不同而比较复杂，一般可从三方面考查： (1)的正负：0时图象经过(0，0)点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；1时曲线下凹，01时曲线上凸，0时曲线下凹；
12、 (3)函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性. 2.求二次函数的解析式就是确定函数式f(x)ax2bxc(a0)中a，b，c的值.应根据题设条件选用适当的表达形式，用待定系数法确定相应字母的值.,3.二次函数与一元二次不等式密切相关，借助二次函数的图象和性质，可直观地解决与不等式有关的问题. 4.二次函数的单调性与对称轴紧密相连，二次函数的最值问题要根据其图象以及所给区间与对称轴的关系确定. 易错防范 1.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. 2.对于函数yax2bxc，要认为它是二次函数，就必须满足a0，当题目条件中未说明a0时，就要讨论a0和a0两种情况.,
