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1、第1节 导数的概念与导数的计算,知 识 梳 理,(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点_处的_.相应地，切线方程为_. 2.函数yf(x)的导函数 如果函数yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数yf(x)在开区间内的导函数.记作f(x)或y.,(x0，f(x0),切线的斜率,yy0f(x0)(xx0),3.基本初等函数的导数公式,0,x1,cos x,sin x,ex,axln a,f(x)g(x),f(x)g(x)f(x)g(x),5.复合函数的导数 复合函数yf(g(x)的导数
2、和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于_的导数与_的导数的乘积.,y对u,u对x,常用结论与易错提醒 1.f(x0)与x0的值有关，不同的x0，其导数值一般也不同. 2.f(x0)不一定为0，但f(x0)一定为0. 3.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数. 4.函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.,基 础 自 测,1.思考辨析(在括号内打“”或“”) (1)f(x0)与(f(x0)表示的意
3、义相同.( ) (2)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( ) (3)(2x)x2x1.( ) (4)若f(x)e2x，则f(x)e2x.( ) 解析 (1)f(x0)是函数f(x)在x0处的导数，(f(x0)是常数f(x0)的导数即(f(x0)0； (3)(2x)2xln 2； (4)(e2x)2e2x. 答案 (1) (2) (3) (4),2.函数yxcos xsin x的导数为( ) A.xsin x B.xsin x C.xcos x D.xcos x 解析 y(xcos x)(sin x)cos xxsin xcos xxsin x. 答案 B,3.(2018全国卷)曲线y2l
4、n(x1)在点(0，0)处的切线方程为_.,答案 y2x,4.(2019南通一调)若曲线yxln x在x1与xt处的切线互相垂直，则正数t的值为_. 解析 因为yln x1， 所以(ln 11)(ln t1)1， ln t2，te2. 答案 e2,f(x)f(1)e2x22x2f(0)， f(1)f(1)22f(0)，f(0)1，,f(x)e2xx22x. 答案 1 e2xx22x,6.已知曲线yex，则其图象上各点处的切线斜率的取值范围为_；该曲线在点(0，1)处的切线方程为_. 解析 由题意得yex，则由指数函数的性质易得yex(，0)，即曲线yex的图象上各点处的切线斜率的取值范围为(，
5、0).当x0时，ye01，则曲线yex在(0，1)处的切线的斜率为1，则切线的方程为y11(x0)，即xy10. 答案 (，0) xy10,解 (1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.,(4)令u2x5，yln u.,规律方法 求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错，常用求导技巧有： (1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导； (2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； (5)三角形式：
6、先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； (6)复合函数：由外向内，层层求导.,解析 (1)因为f(x)ex2sin x，所以f(x)ex2cos x.所以f(0)3，f(0)1.由导数的几何意义可知，函数f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y13x，即为3xy10，故选C.,解得x01，此时切线的斜率为1；若x02，则切线的斜率为4.,即3x3y20或12x3y160. 答案 (1)C (2)3x3y20或12x3y160,角度2 求参数的值 【例22】 (1)(2019嘉兴检测)函数yx3x的图象与直线yax2相切，则实数a( ) A.1 B.1 C.2 D.4 (2)(2019
7、杭州质检)若直线yx与曲线yexm(mR，e为自然对数的底数)相切，则m( ) A.1 B.2 C.1 D.2,(2)设切点坐标为(x0，ex0m).由yexm，得yexm，则切线的方程为yex0mex0m (xx0) ，又因为切线yx过点(0，0)，代入得x01，则切点坐标为(1，1)，将(1，1)代入yexm中，解得m1，故选C. 答案 (1)C (2)C,角度3 公切线问题 【例23】 (一题多解)已知曲线yxln x在点(1，1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则a_. 解析 法一 yxln x，,曲线yxln x在点(1，1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1. y2x
8、1与曲线yax2(a2)x1相切， a0(当a0时曲线变为y2x1与已知直线平行).,由a28a0，解得a8. 法二 同法一得切线方程为y2x1.,y2ax(a2)，y|xx02ax0(a2).,答案 8,规律方法 (1)求切线方程的方法： 求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程； 求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程. (2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上.,当x00时，切线方程为y0，,
