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1、随堂巩固训练(22) 1. 做一个容积为27 cm3的方底有盖水箱，高为_3_cm时材料最省解析：当这个水箱是正方体时，材料最省，即高为3(cm) 2. 在RtABC中，斜边BC的长为定值a，绕直角边AC旋转一周，得到一个圆锥，当圆锥的体积最大时，tanB_解析：设ABr，ACh，则r2a2h2，所以Vr2h(a2h2)h，V(h)(a23h2)，令V(h)0，得h，所以当h时，圆锥的体积取最大值，此时ra，所以tanB. 3. 在半径为R的圆内作内接等腰三角形，当底边上的高为_R_时三角形的面积最大解析：如图，设OBC，则0，ODRsin，BDRcos，所以ABC的面积为SRcos(RRsi
2、n)R2cosR2sincos，所以SR2sinR2(cos2sin2)R2(sin 1)(2sin 1)令S0，得sin 1或sin .因为，所以.当00；当时，S0，所以当时，ABC的面积最大，此时底边上的高OAODRR. 4. 将一根长为16的绳子分成两段，各围成一个正方形，它们的面积和的最小值为_8_解析：设将绳子分成的两段长分别为x和16x，面积和为y，则y(x8)28.因为0x16，所以它们的面积和的最小值为8. 5. 从边长为10 cm16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为_144_cm3.解析：设盒子的容积为y cm3，盒子的
3、高为x cm，则y(102x)(162x)x4x352x2160x(0x0)，则长为2x，高为，所以长方体的体积为V2xx6x39x2，所以V18x218x(x0)令V0，得函数V的增区间为(0，1)；令V0，得函数V的减区间为，所以VmaxV(1)693. 7. 已知水波的半径以50 cm/s的速度向外扩张，当半径为250 cm时，水波形成的圆的面积的变化率是_25_000_解析：圆面积S(vt)22 500t2，所以S5 000t.当半径为250cm时，t5，所以S5 000525 000. 8. 甲船以每小时20海里的速度向东行驶，同一时间乙船在甲船正北方向82海里处以每小时16海里的速
4、度向南行驶，经过_2_小时两船的距离最近解析：设行驶x小时，它们的距离为d，则d2(20x)2(8216x)2656x22 624x6 724，则(d2)1 312x2 624，令1 312x2 6240，得x2，所以当x2时，d2取最小值，即经过2小时甲、乙两船的距离最近 9. 如图，在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体横梁，则矩形面的长为_d_(抗弯强度与bh2成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽)解析：设比例系数为k，则抗弯强度ykbh2kb(d2b2)kbd2kb3，则ykd23kb2，令y0，得b2d2，此时，y取最大值，所以h2d2b2d2d2d2，故hd.10.
5、 做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高应该为_cm.11. 如图，某小区有一矩形地块OABC，其中OC2，OA3(单位：百米)已知OEF是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边EF相切于点M的笔直的路l(宽度不计)，交线段OC于点D，交线段OA于点N.现以O为坐标原点，线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边EF满足函数yx22(0x)，点M到y轴的距离记为t.(1) 当t时，求l所在的直线方程；(2) 当t为何值时，地块OABC在路l不含泳池一侧的面积取到最大？并求出最大值解析：(1) 由题意得M.因为y2x，所以直线l的斜率k，所以直线l的方程为y，即
6、yx.(2) 由(1)易知直线l的方程为y(2t2)2t(xt)，即y2txt22.令y0，得x；令x0，得yt22.由题意得解得2t1，所以SODN(t22)(t34t)令g(t)，则g(t)(3t24).令g(t)0，则t，当t时，g(t)0，所以当t百米时，g(t)ming，所以所求面积的最大值为万平方米12. 某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处，已知ABAC6 km，现计划在边BC的高AO上一点P处建造一个变电站记点P到三个村庄的距离之和为y.(1) 设PBO，把y表示成的函数关系式；(2) 当变电站建于何处时，它到三个村庄的距离之和最小？解析：(1) 在RtAB
7、C中，ABAC6，所以OBOA3，ABC.由题意知0，所以点P到点A、B、C的距离之和为y2PBPA2(33tan)33，故所求函数关系式为y33.(2) 由(1)得y3.令y0，得sin.又0，所以.当0时，y0；当0.所以当时，y取得最小值，此时OP3tan(km)，即点P在OA上且距离点O km处13. 已知某公司生产品牌服装的年固定成本是10万元，每生产千件，需另投入2.7万元，设该公司1年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)(1) 写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(注：年利润年销售收入年总成本)(2) 当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大？解析：(1) 当010时，WxR(x)(102.7x)982.7x，所以W(2) 当00，当x(9，10)时，W10时，W982.7x9898238，当且仅当2.7x，即x时，等号成立由知，当x9千件时，W取得最大值38.6万元
