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1、随堂巩固训练(20) 1. 函数f(x)cosx，x的单调减区间是_解析：f(x)sinx，令f(x).因为x，所以x2，则关于x的方程x3ax210在区间(0，2)上恰好有_1_个根解析：设f(x)x3ax21，则f(x)x22axx(x2a)当x(0，2)时，因为a2，所以x2a0，即f(x)0，所以f(x)在区间(0，2)上为减函数又f(0)f(2)14a0，即a2a20，解得a2或a1，即实数a的取值范围是(，1)(2，) 5. 设x2与x4是f(x)x3ax2bx的两个极值点，则a_3_，b_24_解析：因为f(x)3x22axb，所以3x22axb0的两根为x2和x4，所以解得 6
2、. 设f(x)是定义在R上的函数，f(x6)f(x)，且当x(0，3)时，f(x)f(1.5)f(3.5)_解析：f(6.5)f(0.56)f(0.5)，f(3.5)f(30.5)f(30.5)f(2.5)又函数f(x)在区间(0，3)上单调递减，所以f(2.5)f(1.5)f(0.5)，即f(3.5)f(1.5)0，所以f(x)x0，解得0x0且a13，解得10时，0，则不等式xf(x)0的解集是_(，1)(1，)_解析：令g(x)(x0)，则g(x).因为当x0时，0，即g(x)0，所以g(x)在区间(0，)上为增函数又f(1)0，所以g(1)f(1)0，所以在区间(0，)上，g(x)0的
3、解集为(1，)因为f(x)为奇函数，所以g(x)为偶函数，所以在区间(，0)上，g(x)0的解集为(，1)由xf(x)0得g(x)0(x0)，所以不等式xf(x)0的解集为(，1)(1，) 9. 已知曲线yxlnx在点(1，1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则实数a的值为_8_解析：因为y1，所以曲线yxln x在x1处的切线斜率k2，故切线方程为y2x1.由于切线与曲线yax2(a2)x1相切，联立得ax2ax20.又因为a0，所以由a28a0，解得a8.10. 已知函数yf(x)在定义域上可导，其图象如图所示，记函数yf(x)的导函数为yf(x)，则不等式f(x)0的解集为_2，
4、3)_解析：由图象可知，函数f(x)在区间，1与2，3)上单调递减，所以f(x)0的解集为2，3)11. 已知函数f(x)x2bsinx2(bR)，F(x)f(x)2，且对于任意实数x，恒有F(x)F(x)0.(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 已知函数g(x)f(x)2(x1)alnx在区间(0，1)上单调递减，求实数a的取值范围解析：(1) F(x)f(x)2x2bsinx22x2bsinx.依题意，对任意实数x，恒有F(x)F(x)0.所以x2bsinx(x)2bsin(x)0，即2bsinx0，所以b0，所以f(x)x22.(2) 由(1)知g(x)x22xalnx，则g(x)2x
5、2.因为函数g(x)在区间(0，1)上单调递减，所以g(x)2x20在区间(0，1)上恒成立，所以a(2x22x)在区间(0，1)上恒成立因为y(2x22x)在区间(0，1)上单调递减，所以a4，所以实数a的取值范围是(，412. 设函数f(x)exax2ex2，其中e为自然对数的底数(1) 当a1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2) 若函数h(x)是函数f(x)的导函数，求函数h(x)在区间0，1上的最小值解析：(1) 当a1时，f(x)exx2ex2，f(x)ex2xe，所以f(1)e112e123，f(1)2，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y32
6、(x1)，即2xy10.(2) 由题意得h(x)f(x)ex2axe，所以h(x)ex2a.当a时，因为x0，1，1exe，所以2a0，所以h(x)在区间0，1上单调递增，所以h(x)h(0)1e；当a时，因为x0，1，1exe，所以2aex恒成立，即h(x)ex2a0，所以h(x)在区间0，1上单调递减，所以h(x)h(1)2a；当a时，由h(x)ex2a0，得xln2a，所以h(x)在区间0，ln2a上单调递减，在区间ln2a，1上单调递增，所以h(x)h(ln2a)2a2aln2ae.综上所述，h(x)min13. 已知函数f(x)x2alnx.(1) 当a2时，求函数f(x)的单调减区间；(2) 若g(x)f(x)在区间1，)上为增函数，求实数a的取值范围解析：(1) 易知函数f(x)的定义域为(0，)，当a2时，f(x)x22lnx，所以f(x)2x，由f(x)0，得1x0，所以当a2时，函数f(x)的单调减区间为(0，1)(2) 由题意知g(x)x2alnx，所以g(x)2x.因为函数g(x)在区间1，)上为单调增函数，所以g(x)2x0在区间1，)上恒成立，即a2x2在区间1，)上恒成立令h(x)2x2，则h(x)4x0，所以函数h(x)在区间1，)上单调递减，所以h(x)maxh(1)0，所以a0，所以实数a的取值范围为0，)
