《2020版数学江苏专用版新设计大一轮课件：第三章 导数及其应用 第3讲 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版数学江苏专用版新设计大一轮课件：第三章 导数及其应用 第3讲 （36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3讲 利用导数研究函数的最(极)值,考试要求 1.函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(A级要求)；2.利用导数求函数的极大值、极小值，闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)(B级要求).,知 识 梳 理,1.函数的极值 若在函数yf(x)的定义域I内存在x0，使得在x0附近的所有点x，都有_，则称函数yf(x)在点xx0处取得极大值，记作y极大值_；若在x0附近的所有点x，都有_，则称函数yf(x)在点xx0处取得极小值，记作y极小值_.,f(x)f(x0),f(x0),f(x)f(x0),f(x0),2.求函数极值的步骤： (1)求导数f(x)； (2)求方程f(
2、x)0的所有实数根； (3)观察在每个根xn附近，从左到右，导函数f(x)的符号如何变化，若f(x)的符号由正变负，则f(xn)是极大值；若由负变正，则f(xn)是极小值；若f(x)的符号在xn的两侧附近相同，则xn不是函数f(x)的极值点.,3.函数的最值 若在函数f(x)的定义域I内存在x0，使得对于任意的xI，都有f(x)_，则称f(x0)为函数的最大值，记作ymax_；若在函数f(x)的定义域I内存在x0，使得对于任意的xI，都有f(x)_，则称f(x0)为函数的最小值，记作ymin_. 4.求函数yf(x)在区间a，b上的最值的步骤： (1)求f(x)在区间a，b上的极值； (2)将
3、第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间a，b上的最大值与最小值.,f(x0),f(x0),f(x0),f(x0),诊 断 自 测,1.思考辨析(在括号内打“”或“”) (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.( ) (2)函数的极大值不一定比极小值大.( ) (3)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0为极值点的充要条件.( ) (4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( ) 解析 (1)函数在某区间或定义域内极大值可以不止一个，故(1)错误，(3)对可导函数f(x)，f(x)0是x0为极值点的必要条件. 答案 (1) (2) (3) (4
4、),2.函数f(x)x33x22在区间1，1上的最大值是_. 解析 f(x)3x26x，令f(x)0，得x0或x2. f(x)在1，0)上是增函数，f(x)在(0，1上是减函数. f(x)maxf(x)极大值f(0)2. 答案 2,其中，既是奇函数又存在极值的是_(填序号). 解析 由题意可知，中的函数不是奇函数，中函数yx3单调递增(无极值)，中的函数既为奇函数又存在极值. 答案 ,4.(2018全国卷改编)函数yx4x22的图象大致为_(填序号).,答案 ,5.(2018江苏卷)若函数f(x)2x3ax21(aR)在(0，)内有且只有一个零点，则f(x)在1，1上的最大值与最小值的和为_.
5、,答案 3,考点一 利用导数研究函数的极值 角度1 求函数的极值,设函数g(x)f(x)(xa)cos xsin x，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值. 解 因为g(x)f(x)(xa)cos xsin x， 所以g(x)f(x)cos x(xa)sin xcos xx(xa)(xa)sin x(xa)(xsin x)， 令h(x)xsin x，则h(x)1cos x0，所以h(x)在R上单调递增. 因为h(0)0，所以，当x0时，h(x)0；当x0时，h(x)0.,当a0，g(x)单调递增； 当x(a，0)时，xa0，g(x)0，g(x)0，g(x)单调递增. 所以当xa
6、时，g(x)取到极大值，,当x0时，g(x)取到极小值，极小值是g(0)a.,当a0时，g(x)x(xsin x)， 当x(，)时，g(x)0，g(x)单调递增； 所以g(x)在(，)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值. 当a0时，g(x)(xa)(xsin x)， 当x(，0)时，xa0，g(x)单调递增； 当x(0，a)时，xa0，g(x)0，g(x)单调递增. 所以当x0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)a；,综上所述：,当a0时，函数g(x)在(，)上单调递增，无极值；,【例12】 已知函数f(x)ax2axxln x，且f(x)0. (1)求a； (2)证明：f(x)存在唯
7、一的极大值点x0，且e2f(x0)22. (1)解 f(x)的定义域为(0，)， 设g(x)axaln x，则f(x)xg(x)，f(x)0等价于g(x)0， 因为g(1)0，g(x)0，故g(1)0，,当01时，g(x)0，g(x)单调递增，所以x1是g(x)的极小值点，故g(x)g(1)0. 综上，a1.,(2)证明 由(1)知f(x)x2xxln x，f(x)2x2ln x，,当x(x0，1)时，h(x)0. 因为f(x)h(x)，所以xx0是f(x)的唯一极大值点. 由f(x0)0得ln x02(x01)，故f(x0)x0(1x0).,因为xx0是f(x)在(0，1)的最大值点， 由e
8、1(0，1)，f(e1)0得f(x0)f(e1)e2. 所以e2f(x0)22.,角度2 已知极值求参数,(1)当k0时，求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点，求k的取值范围. 解 (1)函数yf(x)的定义域为(0，)，,由k0可得exkx0，所以当x(0，2)时，f(x)0，函数yf(x)单调递增. 所以f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，).,(2)由(1)知，k0时，函数f(x)在(0，2)内单调递减， 故f(x)在(0，2)内不存在极值点； 当k0时，设函数g(x)exkx，x0，)， 因为g(x)exkexeln k， 当
9、00，yg(x)单调递增. 故f(x)在(0，2)内不存在两个极值点； 当k1时， 得x(0，ln k)时，g(x)0，函数yg(x)单调递增.,所以函数yg(x)的最小值为g(ln k)k(1ln k). 函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点,规律方法 (1)求函数f(x)极值的步骤： 确定函数的定义域； 求导数f(x)； 解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根； 列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值. (2)若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝
10、不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值. (3)可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同.应注意导数为零的点不一定是极值点.对含参数的求极值问题，应注意分类讨论.,【训练1】 设函数f(x)ax2(3a1)x3a2ex. (1)若曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率为0，求a； (2)若f(x)在x1处取得极小值，求a的取值范围. 解 (1)因为f(x)ax2(3a1)x3a2ex， 所以f(x)ax2(a1)x1ex. f(2)(2a1)e2.,(2)由(1)得f(x)ax2(a1)x1ex (ax1)(x1)ex.,当x
11、(1，)时，f(x)0. 所以f(x)在x1处取得极小值. 若a1，则当x(0，1)时，ax1x10. 所以1不是f(x)的极小值点. 综上可知，a的取值范围是(1，).,考点二 利用导数求函数的最值,(1)当a4时，求f(x)的单调递增区间； (2)若f(x)在区间1，4上的最小值为8，求a的值.,综上有，a10.,规律方法 求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤： (1)求函数在(a，b)内的极值； (2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)； (3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.,(1)解 f(x)的定义域为(，
12、2)(2，).,且仅当x0时，f(x)0，所以f(x)在(，2)，(2，)单调递增. 因此当x(0，)时，f(x)f(0)1. 所以(x2)ex(x2)，即(x2)exx20.,由(1)知，f(x)a单调递增，对任意a0，1)，f(0)aa1xa时，f(x)a0，g(x)0，g(x)单调递增.,所以，由xa(0，2，,考点三 由函数极值、最值解决恒成立问题,【例3】 已知函数f(x)ex(exa)a2x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)0，求a的取值范围. 解 (1)函数f(x)的定义域为(，)， f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa). 若a0，则f(x)e2x，在
13、(，)上单调递增. 若a0，则由f(x)0得xln a. 当x(，ln a)时，f(x)0. 故f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增.,(2)若a0，则f(x)e2x，所以f(x)0. 若a0，则由(1)得，当xln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)a2ln a，从而当且仅当a2ln a0，即0a1时，f(x)0.,规律方法 利用导数解决不等式问题的一般思路： (1)恒成立问题的三种常见解法：分离参数，化为最值问题求解，如a(x)max或a(x)min；构造函数，分类讨论，如f(x)g(x)，即F(x)f(x)g(x)，求F(x)min0；转变主元，选
14、取适当的主元可使问题简化. (2)恒成立问题常利用分离参数法转化为最值问题求解.若不能分离参数，可以对参数进行分类讨论. (3)证明不等式问题可通过构造函数转化为函数的最值问题求解.,【训练3】 设函数f(x)(1x2)ex. (1)讨论f(x)的单调性； (2)当x0时，f(x)ax1，求a的取值范围. 解 (1)f(x)(12xx2)ex.,(2)f(x)(1x)(1x)ex. 当a1时，设函数h(x)(1x)ex，h(x)xex0)，因此h(x)在0，)上单调递减，而h(0)1，故h(x)1，所以f(x)(x1)h(x)x1ax1； 当00(x0)，所以g(x)在0，)上单调递增，而g(0)0，故exx1. 当0(1x)(1x)2，(1x)(1x)2ax1x(1axx2)，,综上，a的取值范围是1，).,
