《2020版数学江苏专用版新设计大一轮课件：第三章 导数及其应用 第2讲 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版数学江苏专用版新设计大一轮课件：第三章 导数及其应用 第2讲 （30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2讲 利用导数研究函数的单调性,考试要求 1.函数单调性与导数的关系(A级要求)；2.利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)(B级要求).,知 识 梳 理,1.函数的单调性与导数的关系 已知函数f(x)在某个区间内可导， (1)如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内_； (2)如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内_.,单调递增,单调递减,2.利用导数求函数单调区间的基本步骤是： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f(x)； (3)由f(x)0(或0)解出相应的x的取值范围.当f(x)0时，f(x)在相应的区间内是单调递增函数；
2、当f(x)0时，f(x)在相应的区间内是单调递减函数. 一般需要通过列表，写出函数的单调区间.,3.已知单调性求解参数范围的步骤为： (1)对含参数的函数f(x)求导得到f(x)； (2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(x)0恒成立；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(x)0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围； (3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f(x)0.若f(x)0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常数函数，舍去此参数值.,诊 断 自 测,1.思考辨析(在括号内打“”或“”) (1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0.( ) (2)如果函
3、数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性.( ) (3)f(x)0是f(x)为增函数的充要条件.( ) 解析 (1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增一定有f(x)0，且不恒为0，故错误.(3)f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件.如f(x)x3在R上为增函数，但f(x)0，故(3)错误. 答案 (1) (2) (3),2.函数f(x)x22ln x的单调递减区间是_.,当x(0，1)时f(x)0，f(x)为减函数； 当x(1，)时，f(x)0，f(x)为增函数. 答案 (0，1),3.在区间(1，1)内不是增函数的函数是_(填序号). yexx；ysin
4、 x；yx36x29x2；yx2x1. 解析 yexx，yex10，在区间(1，1)内是增函数； ysin x，ycos x，在区间(1，1)内是增函数； yx36x29x2，y3x212x93(x2)23，在区间(1，1)内是增函数；,答案 ,4.(2019南师大附中等四校联考)已知函数f(x)x3ax2a2x1在1，1上单调递减，则a的取值范围是_.,答案 (，33，),5.(2019南京、盐城模拟)函数yf(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为_. 解析 设F(x)f(x)(2x4)，则F(1)f(1)(24)220. F(x)f(x)2，对任意
5、xR，F(x)0， 即函数F(x)在R上是单调增函数， 则F(x)0的解集为(1，)， 故f(x)2x4的解集为(1，). 答案 (1，),考点一 讨论函数的单调性,(1)若a0，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调性.,(2)函数f(x)的定义域为(0，).,当a0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增. 当a0时，令g(x)ax2(2a2)xa， 由于(2a2)24a24(2a1).,所以x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减； x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增； x(x2，)时，g
6、(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减.,设x1，x2(x1x2)是函数g(x)的两个零点，,综上可得： 当a0时，函数f(x)在(0，)上单调递增；,规律方法 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点的函数的间断点. (3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)x3，f(x)3x20(f(x)0在x0时取到)，f(x)在R上是增函数.,【训练1】 函数f(x)ax33x23x(a0). (1)讨论f(x)的单调性； (2)若函数f(x)在区间(1，2)上是增函数，求a的取
7、值范围. 解 (1)函数f(x)ax33x23x(a0)， f(x)3ax26x3， 令f(x)0，即3ax26x30，则36(1a)， 当a1时，0，f(x)0，f(x)在R上是增函数；,()当00，当x(x2，x1)时，f(x)0，故函数f(x)在(，x1)，(x2，)上是减函数，在(x1，x2)上是增函数. (2)当a0时，f(x)3ax26x30(x(1，2)， 故a0时，f(x)在区间(1，2)上是增函数， 当a0时，由f(x)在区间(1，2)上是增函数，,考点二 已知函数单调性求参数,(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围； (2)若函数h(x)f(x
8、)g(x)在1，4上单调递减，求a的取值范围.,所以a1，又a0即a的取值范围是(1，0)(0，).,(2)由h(x)在1，4上单调递减得，,规律方法 根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解. (3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.,【训练2】 已知函数f(x)exln xaex(aR).,(2)若yf(x)在(0，)上是单
9、调函数，求实数a的取值范围.,若f(x)为单调递减函数，则f(x)0在x0时恒成立.,若f(x)为单调递增函数，则f(x)0在x0时恒成立，,由g(x)0，得x1；由g(x)0，得0x1. 故g(x)在(0，1)上为单调递减函数，在(1，)上为单调递增函数，此时g(x)的最小值为g(1)1，但g(x)无最大值(且无趋近值).故f(x)不可能是单调递减函数.,故实数a的取值范围是(，1.,考点三 利用函数的单调性比较大小，解不等式,x(0，e)，f(x)0，x(e，)，f(x)0，故xe时，,答案 f(2)f(3)f(e),(2)已知函数f(x)ln(1x)，g(x)kx(kR). 证明：当x0
10、时，f(x)x； 证明：当k1时，存在x00，使得对任意的x(0，x0)，恒有f(x)g(x). 证明 令F(x)f(x)xln(1x)x，x(0，)，,当x(0，)时，F(x)0，所以F(x)在(0，)上单调递减， 故当x0时，F(x)F(0)0，即当x0时，f(x)x. 令G(x)f(x)g(x)ln(1x)kx，x(0，)，,从而G(x)在(0，x0)上单调递增，所以G(x)G(0)0，即f(x)g(x). 综上，当k1时，总存在x00，使得对任意x(0，x0)，恒有f(x)g(x).,当k0时，G(x)0， 故G(x)在(0，)上单调递增， G(x)G(0)0，故任意正实数x0均满足题意.,规律方法 利用导数比较大小或解不等式的常用技巧：利用题目条件、构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式.,【训练3】 (1)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是_.,答案 (，1)(0，1),(2)已知函数f(x)ln xax2(2a1)x. 讨论f(x)的单调性；,若a0时，则当x(0，)时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增，,当x(0，1)时，g(x)0；x(1，)时，g(x)0时，g(x)0，,
