《2019数学新设计北师大选修2-3课件：第一章 计数原理 1.1.2 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019数学新设计北师大选修2-3课件：第一章 计数原理 1.1.2 （29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时,一、两个原理的关系 分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题.区别在于:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法互相依存,只有各个步骤都完成才算做完这件事.,二、两个计数原理在解决计数问题中的用法 在利用两个计数原理解决计数问题时,最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析,分清是分类还是分步.,名师点拨分类加法计数原理、分步乘法计数原理的选择 分类加法计数原理的各类方法是相互独立的,用任何一种方法都可以完成这件事.而分步乘法计数原理的各个步
2、骤是相互依存的,必须完成每个步骤,才能完成这件事. 根据具体问题的特征,正确认识分类和分步的特征,才能正确选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理来解决问题.,【做一做】 现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为( ) A.232 B.252 C.472 D.484 解析若没有红色卡,则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张,若都不同色,则有444=64种;若2色相同,则有3264=144种;若红色卡片有1张,则剩余2张若不同色,有4344=192种,若同色,则有436=72种,所以共有64+144+1
3、92+72=472,故选C. 答案C,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)如果完成一件事情有n个不同步骤,在每一步中都有若干种不同的方法mi(i=1,2,3,n),那么完成这件事共有m1m2m3mn种方法. ( ) (2)所有两位数中,个位数字比十位数字大的两位数共有72个. ( ) (3)应用分类加法计数原理时为了避免漏掉某种情况,可以适当的重复. ( ) (4)有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,那么不同的配法有12种. ( ) 答案(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例1】
4、 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中工厂甲必须有班级去,每班去哪个工厂可自由选择,则不同的分配方案有( ) A.16种 B.18种 C.37种 D.48种 分析可以先进行分类,然后对于每一类再进行分步完成.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解析方法一(直接法) 以甲工厂分配班级情况进行分类,共分为三类:第一类,三个班级都去甲工厂,此时分配方案只有1种情况;第二类,有两个班级去甲工厂,剩下的班级去另外三个工厂,其分配方案共有33=9(种);第三类,有一个班级去甲工厂,另外两个班级去其他三个工厂,其分配方案共有333=27(种).综上所述,不同的分配方案有1+9+27=3
5、7(种). 方法二(间接法) 先计算3个班自由选择去哪个工厂的总数,再扣除甲工厂无人去的情况,即444-333=37(种)方案. 答案C,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟 解决抽取(分配)问题的方法 (1)当涉及对象数目不大时,一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法. (2)当涉及对象数目很大时,一般有两种方法:直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地,若抽取是有顺序的就按分步进行;若是按对象特征抽取的,则按分类进行.间接法:去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练 1现有5幅不同的国画,2
6、幅不同的油画,7幅不同的水彩画. (1)从中任选一幅画布置房间,有几种不同的选法? (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间,有几种不同的选法? (3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间,有几种不同的选法?,解(1)分为三类: 第一类,从国画中选,有5种不同的选法; 第二类,从油画中选,有2种不同的选法; 第三类,从水彩画中选,有7种不同的选法. 由分类加法计数原理知,共有5+2+7=14种不同的选法.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2)要完成的一件事是“从现有3种画中各选1幅画”.分三步: 第一步,从5幅不同的国画中选1幅,有5种不同的选法; 第二步,从2幅不同的油画中选1
7、幅,有2种不同的选法; 第三步,从7幅不同的水彩画中选1幅,有7种不同的选法. 由分步乘法计数原理知,共有527=70种不同的选法. (3)分为三类: 第一类是一幅选自国画,一幅选自油画.由分步乘法计数原理知,有52=10种不同的选法; 第二类是一幅选自国画,一幅选自水彩画,有57=35种不同的选法; 第三类是一幅选自油画,一幅选自水彩画,有27=14种不同的选法. 所以共有10+35+14=59种不同的选法.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例2】 用6种不同颜色为如图所示的广告牌着色,要求在A,B,C,D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色,求共有多少种不同的着色方法? 分析
8、按不同的分类标准有不同的计算方法,可以按A,D涂同色或不同色分类,也可以按四个区域所用颜色的种数分类.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解(1)方法一:分类: 第一类,A,D涂同色,有654=120(种)涂法, 第二类,A,D涂异色,有6543=360(种)涂法, 共有120+360=480(种)涂法. 方法二:分步:先涂B区,有6(种)涂法,再涂C区,有5(种)涂法,最后涂A,D区域,各有4(种)涂法, 所以共有6544=480(种)涂法. 方法三:以四个区域涂n种颜色为标准分类,可知至少用三种颜色,最多用四种颜色. 第一类:用三种颜色着色,A,D区域必须是同种颜色, 有654=120(种
9、)涂法. 第二类:用四种颜色着色,四个区域的颜色均不相同, 有6543=360(种)涂法. 所以共有120+360=480(种)不同方法.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟 1.涂色问题的基本要求是相邻区域不同色,但是不相邻的区域可以同色.因此一般以不相邻区域同色、不同色为分类依据,相邻区域可用分步涂色的办法涂色. 2.涂色问题往往涉及分类、分步计数原理的综合应用,因此,要找准分类标准,兼顾条件的情况下分步涂色.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2 如图所示的几何体是由一个正三棱锥P-ABC与正三棱柱ABC-A1B1C1组合而成的,现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底
10、面A1B1C1不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的染色方案共有 种.,解析先涂三棱锥P-ABC的三个侧面,然后涂三棱柱的三个侧面,由分步乘法计数原理,共有3212=12(种)不同的涂法. 答案12,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例3】已知集合M=1,-2,3,N=-4,5,6,-7,从两个集合中各取一个元素分别作为平面直角坐标系中点的横、纵坐标,则第一、二象限内不同的点的个数是多少? 解可分两类.第一类:以集合M中的元素作为横坐标,集合N中的元素作为纵坐标. 从集合M中任取一个元素有3种方法,要使点在第一、二象限内,则从集合N中只能取5,6两个元素中的一个,有2种方法. 根据分步乘法
11、计数原理,满足条件的点有32=6个. 第二类:以集合N中的元素作为横坐标,集合M中的元素作为纵坐标. 从集合N中任取一个元素有4种方法,要使点在第一、二象限内,则从集合M中只能取1,3两个元素中的一个,有2种方法. 根据分步乘法计数原理,满足条件的点有42=8个. 根据分类加法计数原理,满足条件的点共有6+8=14个.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟 按元素性质分类,按事件发生过程分步是计数问题的基本思想方法,区分“分类”与“分步”的关键,是验证所提供的某一种方法是否完成了这件事情,分类中的每一种方法都完成了这件事情,而分步中的每一种方法不能独立完成这件事情,只是向事情的完成迈进了
12、一步.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练 3从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,求有多少种不同的种植方法. 分析因为黄瓜必须种植,所以先将黄瓜种好,再依次选择其他土地上的种植蔬菜种类. 解方法一(直接法):若黄瓜种在第一块土地上,则有321=6(种)不同种植方法. 同理,黄瓜种在第二块、第三块土地上,均有321=6(种)不同种植方法. 故不同的种植方法共有63=18(种). 方法二(间接法):从4种蔬菜中选出3种,种在三块土地上,有432=24(种),其中不种黄瓜有321=6(种),故共有不同种植方法24-6=18(种).,
13、探究一,探究二,探究三,思维辨析,因忽视题目的隐含条件而致误 【典例】某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选出会英语和日语的各一人,有多少种不同的选法? 易错分析完成这类题目首要的是读清楚题意.若对题目的隐含条件没有读出或理解不准确,则会导致出错.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解“完成一件事”指“从9人中选出会英语与日语的各1人”,故需分三类:既会英语又会日语的不当选;既会英语又会日语的按会英语当选;既会英语又会日语的按会日语当选. 既会英语又会日语的有7+3-9=1(人),仅会英语的有6人,仅会日语的有2人.先分类后分步,从仅会英、日语的人中各
14、选1人,有62种选法;从仅会英语与英、日语都会的人中各选1人,有61种选法;从仅会日语与英、日语都会的人中各选1人,有21种选法.根据分类加法计数原理,共有62+61+21=20(种)不同选法.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得 1.不要忽视了其中有一人既会英语又会日语这一隐含条件,以免导致解题错误. 2.解决计数问题,应特别注意其限制条件,有些条件是隐藏的,要善于挖掘.因为该题中既会英语又会日语的有1人,而选不选该人对下一步都有影响,所以要进行分类:第一类他不当选;第二类按会日语当选;第三类按会英语当选.在每一类中,又要分两步,因此是先分类后分步问题.,探究一,探究二,探究三,思维
15、辨析,变式训练 已知函数y=ax2+bx+c,其中a,b,c0,1,2,3,4,求不同的二次函数的个数. 解若y=ax2+bx+c为二次函数,则a0,要完成该事件,需分步进行: 第一步,对于系数a有4种不同的选法; 第二步,对于系数b有5种不同的选法; 第三步,对于系数c有5种不同的选法. 由分步乘法计数原理知,共有455=100(个).,1,2,3,4,5,1.3位同学参加某种形式的竞赛,竞赛规则规定:每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答,选甲题答对得20分,答错得-20分;选乙题答对得10分,答错得-10分.若3位同学的总分为0,则这3位同学不同得分情况的种数是( ) A.3 B.4
16、C.6 D.8 解析由题意总分为0分二类:第一类得分为20,-10,-10;第二类为-20,10,10.每类有三种情况,总共有6种情况. 答案C,1,2,3,4,5,2.从集合1,2,3,4,5中任取2个不同的数,作为直线Ax+By=0的系数,则形成不同的直线最多有( ) A.18条 B.20条 C.25条 D.10条 解析第一步取A的值,有5种取法,第二步取B的值,有4种取法,其中当A=1,B=2时,与A=2,B=4时是相同的;当A=2,B=1时,与A=4,B=2时是相同的,故共有54-2=18(条). 答案A,1,2,3,4,5,3.从1到10的正整数中,任意抽取两个相加所得的和为奇数的不同情形的种数是( ) A.10 B.15 C.20 D.25 解析当且仅当偶数加上奇数后和为奇数,从而不同情形有55=25种,故选D. 答案D,1,2,3,4,5,4.如图所示,用6种不同的颜
