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1、4用向量讨论垂直与平行课后训练案巩固提升A组1.已知a,b,c分别为直线a,b,c的方向向量,且a=b(0),bc=0,则a与c的位置关系是() A.垂直B.平行C.相交D.异面解析:由a=b(0),知ab.由bc=0,知bc,所以ac.故选A.答案:A2.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个单位法向量是()A.B.C.D.解析:=(-1,1,0),=(-1,0,1),=(0,-1,1).设平面ABC的一个单位法向量为u=(x,y,z),则u=0,u=0,可得x,y,z间的关系,且x2+y2+z2=1,再求出x,y,z的值.答案:D3.若平面的法向量为u
2、=(1,-3,-1),平面的法向量为v=(8,2,2),则()A.B.与相交C.D.不确定解析:平面的法向量为u=(1,-3,-1),平面的法向量为v=(8,2,2),uv=(1,-3,-1)(8,2,2)=8-6-2=0.uv,.答案:C4.给出下列命题:若n1,n2分别是平面,的法向量,则n1n2;若n1,n2分别是平面,的法向量,则n1n2=0;若n是平面的法向量,且向量a与平面共面,则an=0;若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:不正确.答案:B5.导学号90074037如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,
3、M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则A1MD1P;A1MB1Q;A1M平面DCC1D1;A1M平面D1PQB1.以上结论正确的是.(填序号)解析:,A1MD1P.又D1P平面D1PQB1,A1M平面D1PQB1.又D1P平面DCC1D1,A1M平面DCC1D1.D1B1与PQ平行不相等,B1Q与D1P不平行.A1M与B1Q不平行.答案:6.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),=(x-1,y,-3).若,且BP平面ABC,则实数x,y,z的值分别为.解析:=(1,5,-2),=(3,1,z),(1,5,-2)(3,1,z)=0,即3+5-2z=0,z=4
4、.又=(x-1,y,-3),平面ABC,=0,即(x-1,y,-3)(1,5,-2)=0,x-1+5y+6=0.=0,即(x-1,y,-3)(3,1,4)=0,3x-3+y-12=0.由得x=,y=-,z=4.答案:,-,47.如图,PA平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E是CD的中点,F是AD上一点,当BFPE时,AFFD的值为.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设正方形边长为1,PA=a.则B(1,0,0),E,P(0,0,a).设点F的坐标为(0,y,0),则=(-1,y,0),.BFPE,=0,解得y=,则点F的坐标为,F为AD的中点,AFFD=1.答案:18.如图,在直三棱柱A
5、BC-A1B1C1中,ABC=90,BC=2,CC1=4,点E在线段BB1上,且EB1=1,D,F,G分别为CC1,C1B1,C1A1的中点.求证:平面EGF平面ABD.证明如图所示,由条件知BA,BC,BB1两两互相垂直,以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.由条件知B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4),E(0,0,3),F(0,1,4),设BA=a,则A(a,0,0),G.所以=(a,0,0),=(0,2,2),=(0,2,-2),=(0,1,1).(方法一)因为=0,=0+4-4=0,所以B1DBA,B1DBD.因为BABD
6、=B,所以B1D平面ABD.又=0+2-2=0,=0+2-2=0.所以B1DEG,B1DEF.又EGEF=E,所以B1D平面EFG,可知平面EGF平面ABD.(方法二)设平面EGF的法向量为n1=(x1,y1,z1),则令y1=1,则n1=(0,1,-1).设平面ABD的法向量为n2=(x2,y2,z2),则 即令y2=1,则n2=(0,1,-1).所以n1=n2,所以平面EGF平面ABD.9.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1平面A1BD.证明如图所示,取BC的中点O,连接AO.因为ABC为正三角形,所以AOBC.因为在正三棱柱ABC-A1B1
7、C1中,平面ABC平面BCC1B1,所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1,以O为原点,以为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),=(-1,2,),=(-2,1,0).因为n,n,故令x=1,则y=2,z=-,故n=(1,2,-)为平面A1BD的一个法向量,而=(1,2,-),所以=n,所以n,故AB1平面A1BD.B组1.设平面的一个法向量为(1,2,-2),平面的一个法向量为(-2,-4,k),若,则k=()A.2B.-4C.4D.-2解析:,存在
8、实数,使(1,2,-2)=(-2,-4,k),k=4.答案:C2.如图,AB是O的直径,VA垂直O所在的平面,点C是圆周上不同于A,B的任意一点,M,N分别为VA,VC的中点,则下列结论正确的是()A.MNABB.MN与BC所成的角为45C.OC平面VACD.平面VAC平面VBC解析:因为M,N分别为VA,VC的中点,所以MNAC.因为ABAC=A,所以A选项不正确.因为ACBC,所以MN与BC所成的角为90,B选项不正确.又因为OC不垂直于AC,所以选项C不正确.因为VA垂直O所在的平面,依题意可得平面VAC平面VBC.答案:D3.如图,定点A和B都在平面内,定点P,PB,C是内异于A和B的
9、动点,且PCAC,那么C在平面内的轨迹是()A.一条线段,但要去掉两个点B.一个圆,但要去掉两个点C.一个椭圆,但要去掉两个点D.半圆,但要去掉两个点解析:连接BC(图略),根据题意BC为PC在平面内的射影.PCAC,根据三垂线定理的逆定理知ACBC,点C在以AB为直径的圆上.又C是不同于点A和B的动点,因此应去掉端点A和B.答案:B4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.若在棱AA1上取一点P,使得DP平面B1AE,此时AP的长为.解析:以A为原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示).设AB=a,则A(0,0,0),D
10、(0,1,0),D1(0,1,1),E,B1(a,0,1),故=(0,1,1),=(a,0,1),.再设P(0,0,z0),使得DP平面B1AE.此时=(0,-1,z0).又设平面B1AE的法向量为n=(x,y,z),则取x=1,得n=.要使DP平面B1AE,只要n,有-az0=0,解得z0=.又DP平面B1AE,存在点P,满足DP平面B1AE,此时AP=.答案:5.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CEAC,EFAC,AB=,CE=EF=1.求证:(1)AF平面BDE;(2)CF平面BDE.证明(1)设AC与BD交于点G.因为EFAG,且EF=1,AG=AC=1,所以四
11、边形AGEF为平行四边形,所以AFEG.因为EG平面BDE,AF平面BDE,所以AF平面BDE.(2)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,且CEAC,所以CE平面ABCD.如图,以C为原点,建立空间直角坐标系C-xyz,则C(0,0,0),A(,0),B(0,0),D(,0,0),E(0,0,1),F.所以=(0,-,1),=(-,0,1).所以=0-1+1=0,=-1+0+1=0.所以CFBE,CFDE.又BEDE=E,所以CF平面BDE.6.导学号90074038如图,在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,ABAC.(1)求证:ACPB;(2)设O,D分别为AC,AP的中
12、点,点G为OAB内一点,且满足),求证:DG平面PBC.证明(1)因为PA平面ABC,AC平面ABC,所以PAAC.又因为ABAC,且PAAB=A,所以AC平面PAB.又因为PB平面PAB,所以ACPB.(2)证法一:因为PA平面ABC,所以PAAB,PAAC.又因为ABAC,所以建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.设AC=2a,AB=b,PA=2c,则A(0,0,0),B(0,b,0),C(2a,0,0),P(0,0,2c),D(0,0,c),O(a,0,0),又因为),所以G.于是=(2a,-b,0),=(0,b,-2c).设平面PBC的一个法向量n=(x0,y0,z0),则有不妨设z0=1,则有y0=,x0=,所以n=.因为n+1(-c)=0,所以n.又因为DG平面PBC,所以DG平面PBC.证法二:取AB中点E,连接OE,则).由已知)可得,则点G在OE上.连接AG并延长交CB于点F,连接PF.因为O,E分别为AC,AB的中点,所以OEBC,即G为AF的中点.又因为D为线段PA的中点,所以DGPF.又DG平面PBC,PF平面PBC,所以DG平面PBC.
