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1、第2课时空间向量的数量积课后训练案巩固提升A组1.下列命题中正确的是()A.(ab)2=a2b2B.|ab|a|b|C.(ab)c=a(bc)D.若a(b-c),则ab=ac=0解析:对于A项,左边=|a|2|b|2cos2,右边=|a|2|b|2,左边右边,故A错误.对于C项,数量积不满足结合律,C错误.在D中,a(b-c)=0,ab-ac=0,ab=ac,但ab与ac不一定等于零,故D错误.对于B项,ab=|a|b|cos,-1cos1,|ab|a|b|,故B正确.答案:B2.如图,已知空间四边形每条边和对角线长都等于a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2
2、的是()A.2B.2C.2D.2解析:2=-a2,故A错;2=-a2,故B错;2=-a2,故D错;2=a2,故只有C正确.答案:C3.如图,已知PA平面ABC,ABC=120,PA=AB=BC=1,则PC等于()A.B.1C.2D.4解析:,+2=1+1+1+21cos 60=4,|=2.答案:C4.已知a,b是两个非零向量,现给出以下命题:ab0;ab=0=;ab0;|ab|=|a|b|=.其中正确的命题有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:利用向量数量积公式可对以上四个命题的真假作出判断.a,b为非零向量,|a|0,|b|0.又ab=|a|b|cos,且0,于是ab0cos0;ab=
3、0cos=0=;ab0cos0.因此,命题均为真命题.|ab|=|a|b|cos|=1=0或,|ab|=|a|b|=不正确,即命题为假命题.故选C.答案:C5.若|a|=|b|,且非零向量a,b不平行,则a+b与a-b所在直线所形成的角的大小是.解析:如图,作=a,=b,以为邻边作OACB,则=a+b,=a-b.又|a|=|b|,四边形OACB为菱形,故a+b与a-b的夹角为.答案:6.导学号90074024已知|a+b|=2,|a-b|=3,且cos=,则|a|=,|b|=.解析:由|a+b|=2,知a2+2ab+b2=4.由|a-b|=3,知a2-2ab+b2=9.故2a2+2b2=13,
4、则|a|2+|b|2=.由cos=,得|a|2-|b|2=.由,得|a|=2,|b|=.答案:27.已知a,b,c中每两个的夹角都是,且|a|=4,|b|=6,|c|=2,试计算|a+b+c|.解|a|=4,|b|=6,|c|=2,且=,|a+b+c|2=(a+b+c)(a+b+c)=|a|2+|b|2+|c|2+2ab+2ac+2bc=|a|2+|b|2+|c|2+2|a|b|cos+2|a|c|cos+2|b|c|cos=42+62+22+46+42+62=100,|a+b+c|=10.8.如图,在四面体A-BCD中,AB=2,BC=3,BD=2,CD=3,ABD=30,ABC=60,求A
5、B与CD的夹角的余弦值.解,=|cos-|cos=22cos 150-23cos 120=-6+3=-3,cos=-,AB与CD的夹角的余弦值为.9.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若侧面对角线AB1BC1,求证:A1CAB1.证明由题意,设=a,=b,=c,|a|=|b|=m,|c|=n,则ab=m2cos 60=,ac=bc=0.AB1BC1,且=-a+c,=b+c,=(-a+c)(b+c)=-ab+c2=n2-m2=0,即m2=2n2,=(-a+c)()=(-a+c)(-c-a+b)=a2-c2-ab=m2-n2-m2=0,A1CAB1.B组1.设a,b,c是任意的非零向量,且它
6、们相互不共线,下列命题:(ab)c-(ca)b=0;|a|-|b|a-b|;(ba)c-(ac)b不与c垂直;(3a+2b)(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中正确的有()A.B.C.D.解析:根据向量的数量积运算,结合模及向量垂直的性质知不正确,正确.答案:D2.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,BAD=90,BAA1=DAA1=60,则AC1的长为()A.B.C.D.解析:,|=.AB=1,AD=2,AA1=3,BAD=90,BAA1=DAA1=60,=90,=60.|=.答案:B3.设A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足=0,则BCD为(
7、)A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定解析:,cos=0,为锐角,同理cos 0,BCD为锐角,cos0,BDC为锐角,即BCD为锐角三角形.答案:B4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点,用向量法证明:A1O平面GBD.证明设=a,=b,=c,则ab=0,bc=0,ac=0.而)=c+(a+b),=b-a,)+(a+b)-c,所以(b-a)=c(b-a)+(a+b)(b-a)=cb-ca+(|b|2-|a|2)=(|b|2-|a|2)=0.所以.所以A1OBD.同理可证,所以A1OOG.又因为OGBD=O,且A1O平面GBD,所
8、以A1O平面GBD.5.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,A1AB=A1AD=BAD=60,AA1=AB=AD=.(1)求|;(2)求证:AC1平面A1BD;(3)求的夹角.(1)解令=a,=b,=c,则=a+b+c,|=|a+b+c|=(a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=+2+2=3.(2)证明=a-c,=(a+b+c)(a-c)=a2-ac+ba-bc+ca-c2=0.,又=b-c,同理,AC1垂直于平面A1BD内的两条相交直线A1D,A1B,AC1平面A1BD.(3)解cos=-.的夹角为-arccos.6.导学号90074025如图,正方形ABCD与正方形ABEF的边长均为1,且平面ABCD平面ABEF,点M在AC上移动,点N在BF上移动.若CM=BN=a(0a).(1)求MN的长度;(2)求当a为何值时,MN的长最小.解(1)由题意,得AC=,BF=,CM=BN=a,.=)+)=)-(-)=.|=(0a).(2)由(1),知当a=时,|有最小值为,即M,N分别为AC,BF的中点时,MN的长最小,且最小值为.
